Question

14．如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F．
（1）求DF的長；
（2）點H為CD的中點，連接AH交BF于點G，點G是BF的中點嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出∠F=∠FBC，得出BC=CF=6，即可得出結(jié)果；
（2）證出FH=AB，由AAS證明△ABG≌△HFG，得出對應邊相等即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，BC=AD=6，CD=AB=4，
∴∠F=∠FBA，
∵∠ABC平分線為BE，
∴∠FBC=∠FBA，
∴∠F=∠FBC，
∴BC=CF=6，
∴DF=CF-CD=6-4=2．
（2）如圖所示：點G是BF的中點；理由如下：
∵點H為CD的中點，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴HF=DF+DH=4，
∴HF=AB，
在△ABG和△HFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}&{\;}\\{∠AGB=∠HGF}&{\;}\\{AB=FH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△HFG（AAS），
∴BG=FG，
∴點G是BF的中點．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵．