Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BD的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、O，連接DE、BF．

（1）求證：四邊形BEDF是菱形；

（2）若AB=16cm，BC=8cm，求四邊形DEBF的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）80（cm2）

【解析】

（1）由題意得出∠OBE=∠ODF，由BD的垂直平分線得出OB=OD，證得△BOE≌△DOF，得出OE=OF，推出四邊形BEDF是平行四邊形，再由EF垂直平分BD，得出BE=DE，即可得出結(jié)論；
（2）由矩形、菱形的性質(zhì)與勾股定理解得：BE=10cm，即可得出結(jié)果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC，AB∥DC，

∴∠OBE=∠ODF，

∵BD的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、O，

∴OB=OD，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，

∴四邊形BEDF是菱形；

（2）解∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8cm，AE=AB-BE=16-BE，

∵BE=DE，在Rt△DAE中，DE2=AD2+AE2，

即BE2=82+（16-BE）2，

解得：BE=10（cm），

∴四邊形DEBF的面積=ADBE=8×10=80（cm2）