【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0)

(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)該拋物線有一點(diǎn)Dx,y),使得SABCSDBC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)y,x=3;(2)P(3,);(3)D的坐標(biāo)為(6,4).

【解析】

(1)因?yàn)閽佄锞經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0),C(5,0),可以假設(shè)拋物解析式為y=a(x-1)(x-5),把A(0,4)代入即可解決問(wèn)題,對(duì)稱軸根據(jù)圖象即可解決.

(2)連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)PAB周長(zhǎng)最。蟪鲋本AC的解析式即可解決問(wèn)題;

(3)根據(jù)面積相等且底邊相等的三角形的高也應(yīng)該相等得出D的縱坐標(biāo)為±4,代入拋物線的解析式即可求得.

(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0),C(5,0),

∴可以假設(shè)拋物解析式為yax﹣1)(x﹣5),把A(0,4)代入得4=5a,

a,

∴拋物線解析式為yx﹣1)(x﹣5)=x2x+4.

拋物線對(duì)稱軸x=3.

(2)連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)PAB周長(zhǎng)最。

設(shè)直線AC的解析式為ykx+b

A(0,4),C(5,0),

,

解得,

∴直線AC解析式為y=﹣x+4,

x=3代入得,y,

∴交點(diǎn)P為(3,);

(3)根據(jù)題意得D的縱坐標(biāo)為±4,

y=4代入yx2x+4得,x2x+4=4,

解得x=06,

y=﹣4代入yx2x+4得,x2﹣6x+10=0,

b2﹣4ac=36﹣4×1×10<0,

∴無(wú)解,

(0,4)為A點(diǎn)(舍),D的坐標(biāo)為(6,4).

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