Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒3個單位，設運動的時間為t秒．

（1）當t=　 　時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分；

（2）當t=5時，CP把△ABC分成的兩部分面積之比是=　 　.

（3）若△BPC的面積為18，試求t的值.

Answer 1

【答案】（1）6.5秒；（2）1：4；（3）t＝秒或秒.

【解析】

（1）根據中線的性質可知，點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，列出方程求解即可；

（2）求出當t＝5時，AP與BP的長，再根據等高的三角形面積比等于底邊的比求解即可；

（3）分兩種情況：①P在AC上；②P在AB上，分別根據三角形面積公式建立關于t的方程，求解可得.

解：（1）當點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，

此時CA＋AP＝12＋7.5＝19.5，

∴3t＝19.5，

解得t＝6.5，

故當t＝6.5秒時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分；

（2）∵5×3＝15，

∴AP＝1512＝3，BP＝153＝12，

則S△APC：S△BPC＝3：12＝1：4；

（3）分兩種情況：

①當P在AC上時，

∵△BPC的面積為18，

∴×9×CP＝18，

∴CP＝4，

∴3t＝4，t＝；

②當P在AB上時，

∵△BPC的面積為18，△ABC的面積為，

∴△BPC的面積是△ABC面積的，

∴3t＝12＋15×，

解得：t＝，

故t＝秒或秒時，△BPC的面積為18．