【題目】(1)閱讀理解:
如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關系即可判斷.
中線AD的取值范圍是 ;
(2)問題解決:
如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CF>EF;
(3)問題拓展:
如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以為頂點作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點,連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關系,并加以證明.
【答案】(1)2<AD<8;(2)證明見解析;(3)BE+DF=EF.
【解析】
試題分析:(1)延長AD至E,使DE=AD,由SAS證明△ACD≌△EBD,得出BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三邊關系求出AE的取值范圍,即可得出AD的取值范圍;
(2)延長FD至點M,使DM=DF,連接BM、EM,同(1)得△BMD≌△CFD,得出BM=CF,由線段垂直平分線的性質得出EM=EF,在△BME中,由三角形的三邊關系得出BE+BM>EM即可得出結論;
(3)延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,證出∠NBC=∠D,由SAS證明△NBC≌△FDC,得出CN=CF,∠NCB=∠FCD,證出∠ECN=70°=∠ECF,再由SAS證明△NCE≌△FCE,得出EN=EF,即可得出結論.
試題解析:(1)解:延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖①所示:
∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,在△BDE和△CDA中,∵BD=CD,∠BDE=∠CDA,DE=AD,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三邊關系得:AB﹣BE<AE<AB+BE,∴10﹣6<AE<10+6,即4<AE<16,∴2<AD<8;
故答案為:2<AD<8;
(2)證明:延長FD至點M,使DM=DF,連接BM、EM,如圖②所示:
同(1)得:△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF,∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF,在△BME中,由三角形的三邊關系得:BE+BM>EM,∴BE+CF>EF;
(3)解:BE+DF=EF;理由如下:
延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,如圖3所示:
∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°,∴∠NBC=∠D,在△NBC和△FDC中,∵BN=DF,∠NBC=∠D,BC=DC,∴△NBC≌△FDC(SAS),∴CN=CF,∠NCB=∠FCD,∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,∴∠BCE+∠FCD=70°,∴∠ECN=70°=∠ECF,在△NCE和△FCE中,∵CN=CF,∠ECN=∠ECF,CE=CE,∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF,∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】汽車開始行駛時,油箱中有油55升,如果每小時耗油7升,則油箱內剩余油量y(升)與行駛時間t(小時)的關系式為_______________
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對∠B進行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況:當∠B是直角時,△ABC≌△DEF.
如圖①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù) ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況:當∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF.
如圖②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是鈍角,請你證明:△ABC≌△DEF(提示:過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G,過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H).
第三種情況:當∠B是銳角時,△ABC和△DEF不一定全等.
在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是銳角,請你利用圖③,在圖③中用尺規(guī)作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是某同學對多項式(x2-4x-3)(x2-4x+1)+4進行因式分解的過程.
解:設x2-4x=y
原式=(y-3)(y+1)+4 (第一步)
= y2-2y+1 (第二步)
=(y-1)2 (第三步)
=(x2-4x-1)2 (第四步)
回答下列問題:
(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的_______.
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2+2x)(x2+2x+2)+1進行因式分解.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列計算正確的是( 。
A. 3a+2a=6a B. a3a4=a12
C. a10÷a2=a5 D. (﹣4a4b)2=16a8b2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,已知直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣2x+8,與x軸交于點A,與y軸交于點B.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)若點P(m,n)為線段AB上的一個動點(與A、B不重合),作PE⊥x軸于點E,PF⊥y軸于點F,連接EF,問:
①若△PAO的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式,并寫出m的取值范圍;
②是否存在點P,使EF的值最小?若存在,求出EF的最小值;若不存在,請說明理由.
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