Question

【題目】如圖，∠BCD＝90°，且BC＝DC，直線PQ經過點D．設∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于點A，將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉90°，與直線PQ交于點E．

（1）當α＝125°時，∠ABC＝　 　°；

（2）求證：AC＝CE；

（3）若△ABC的外心在其內部，直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）125；（2）詳見解析；（3）45°＜α＜90°．

【解析】

（1）利用四邊形內角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；

（2）證明△ABC≌△EDC（AAS）即可求解；

（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，即可求解．

解：（1）在四邊形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，

而∠ADC+∠EDC＝180°，

∴∠ABC＝∠PDC＝α＝125°，

故答案為125；

（2）∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ECD，

又BC＝DC，由（1）知：∠ABC＝∠PDC，

∴△ABC≌△EDC（AAS），

∴AC＝CE；

（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，

∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，

而45°＜α＜135°，

故：45°＜α＜90°．