Question

【題目】數(shù)學概念

在兩個等腰三角形中，如果其中一個三角形的底邊長和底角的度數(shù)分別等于另一個三角形的腰長和頂角的度數(shù)，那么稱這兩個等腰三角形互為姊妹三角形．

概念理解

（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，請用直尺和圓規(guī)作出它的姊妹三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）．

特例分析

（2）①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，，求它的姊妹三角形的頂角的度數(shù)和腰長；

②如圖②，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一點，連接BD．若△ABC與△ABD互為姊妹三角形，且△ABC∽△BCD，則∠A＝　 　°．

深入研究

（3）下列關于姊妹三角形的結論：

①每一個等腰三角形都有姊妹三角形；

②等腰三角形的姊妹三角形是銳角三角形；

③如果兩個等腰三角形互為姊妹三角形，那么這兩個三角形可能全等；

④如果一個等腰三角形存在兩個不同的姊妹三角形，那么這兩個三角形也一定互為姊妹三角形．

其中所有正確結論的序號是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①△ABC的姊妹三角形的頂角為75°時，腰長為；頂角為120°時，腰長為；②∠A＝　36　°．（3）所有正確結論的序號是�、佗邸�．

【解析】

（1）根據(jù)姊妹三角形的定義畫出圖形即可；

（2）①過點B作BG⊥AC，垂足為G．設BG＝x，想辦法構建方程解決問題即可；

②首先證明∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C＝∠ABC，設∠A＝x，利用三角形內角和定理構建方程即可解決問題；

（3）根據(jù)姊妹三角形的定義一一判斷即可．

（1）如圖，△DEF即為所求．

（2）①設△ABC的姊妹三角形為△DEF，且DE＝DF．

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BC＝﹣，

∴∠B＝∠C＝75°，

過點B作BG⊥AC，垂足為G．設BG＝x，

則AB＝AC＝2x，AG＝x，

∴CG＝AC﹣AG＝2x﹣x＝（2﹣）x，

在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，

∴x2+（2﹣）2x2＝（﹣）2，

∴x＝1，

∴AB＝AC＝2．

第一種情形：∠D＝∠ABC＝75°，

DE＝DF＝BC＝﹣．

第二種情形：當∠E＝∠A＝30°時，∠EDF＝120°．

EF＝AB＝2．

過點D作DH⊥EF，垂足為H．

∵DE＝DF，∴EH＝EF＝1．

∴ED＝，

∴△ABC的姊妹三角形的頂角為75°時，腰長為﹣；頂角為120°時，腰長為；

②如圖②中，

∵△ABC∽△BCD，

∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠BDC＝∠ABC，

∵△ABC與△ABD互為姊妹三角形，

∴BC＝BD，

∵∠DBC＝∠A+∠ABD，∠C＝∠ABC＝∠DBC+∠ABD，

∴∠A＝∠ABD，設∠A＝x，則∠DBC＝x，∠BDC＝∠C＝2x，

∴5x＝180°，

∴x＝36°

故答案為：36；

（3）①每一個等腰三角形都有姊妹三角形；正確．

②等腰三角形的姊妹三角形是銳角三角形；錯誤．

③如果兩個等腰三角形互為姊妹三角形，那么這兩個三角形可能全等；正確．

④如果一個等腰三角形存在兩個不同的姊妹三角形，那么這兩個三角形也一定互為姊妹三角形．錯誤．

故答案為①③．