Question

【題目】如圖正方形的頂點(diǎn)是和上的動(dòng)點(diǎn)，與交于P、Q兩點(diǎn)，.

（1）當(dāng)時(shí)，

①求的度數(shù)；

②求以為邊長的正方形面積；

（2）當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持，連接，則面積的最小值為 （直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）①，②以為邊的正方形面積為；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出，，由此得知，然后根據(jù)AB=AQ=CP，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)一步求出答案即可；

（2）首先根據(jù)勾股定理求出，由此得出，通過證明進(jìn)一步得出，據(jù)此即可得出答案；

（3）延長至點(diǎn)，使，連接，先證明與全等，得出∠GBF=∠EBF，再證明與全等，從而得出，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，設(shè)此時(shí)，則，根據(jù)題意利用勾股定理得出，最后得出，，據(jù)此進(jìn)一步求解即可.

（1）①∵四邊形為正方形，

∴，，

∴，

∵AB=AQ=CP，

∴AB=AQ=CP=BC，

∴，

同理，

∴；

②∵，，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

即，

故以為邊的正方形面積為；

（2）如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，

在與中，

∵

∴

∴，，

∴，

∴∠GBF=∠EBF，

在與中，

∵

∴

∴，

在中，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，

設(shè)此時(shí)，則，

由得：

即

解得（舍去），

∴，，

∴面積的最小值=，

故答案為：.