【題目】如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)為雙曲線上的一點,Q為坐標(biāo)平面上一動點,PA垂直于x軸,QB垂直于y軸,垂足分別是A、B

1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;

2)當(dāng)點Q在直線MO上運動時,直線MO上是否存在這樣的點Q,使得OBQOAP面積相等?如果存在,請求出點的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由;

3)如圖2,當(dāng)點Q在第一象限中的雙曲線上運動時,作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ,求平行四邊形OPCQ周長的最小值.

【答案】1yx;(2)存在,Q12,1)和Q2(﹣2,﹣1);(32+4

【解析】

(1)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M(-2,-1),待定系數(shù)法可求它們解析式;
(2)由點Q在yx上,設(shè)出Q點坐標(biāo),表示OBQ,由反比例函數(shù)圖象性質(zhì),可知OAP面積為1,則根據(jù)面積相等可構(gòu)造方程,問題可解;

(3)因為四邊形OPCQ是平行四邊形,所以O(shè)P=CQ,OQ=PC,而點P(-1,-2)是定點,所以O(shè)P的長也是定長,所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值.

解:(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為ykx,

將點M(﹣2,﹣1)坐標(biāo)代入得k,所以正比例函數(shù)解析式為yx,

同樣可得,反比例函數(shù)解析式為;

2)當(dāng)點Q在直線OM上運動時,

設(shè)點Q的坐標(biāo)為Qm,m),

于是SOBQOBBQ×m×mm2,

SOAP|(﹣1×(﹣2|1

所以有,m21,解得m±2

所以點Q的坐標(biāo)為Q12,1)和Q2(﹣2,﹣1);

3)因為四邊形OPCQ是平行四邊形,所以OPCQ,OQPC,

而點P(﹣1,﹣2)是定點,所以OP的長也是定長,

所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值,

因為點Q在第一象限中雙曲線上,所以可設(shè)點Q的坐標(biāo)為Qn),

由勾股定理可得OQ2n2+=(n2+4,

所以當(dāng)(n20n0時,OQ2有最小值4

又因為OQ為正值,所以OQOQ2同時取得最小值,

所以OQ有最小值2,由勾股定理得OP

所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2OP+OQ)=2+2)=2+4

(或因為反比例函數(shù)是關(guān)于yx對稱,所以當(dāng)Q在反比例函數(shù)時候,OQ最短的時候,就是反比例與yx的交點時候,聯(lián)立方程組即可得到點Q坐標(biāo))

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