Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ADN＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點(不與點A重合)，延長ME交射線CD于點N.連接MD、AN，

(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)填空：

①當AM的值為_____時，四邊形AMON是矩形；

②當AM的值為______時，四邊形AMDN是菱形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①2；②4.

【解析】

（1）利用菱形的性質(zhì)和已知條件可證明四邊形AMDN的對邊平行且相等即可；

（2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝2時即可；

②當平行四邊形AMND的鄰邊AM＝DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，AD＝AB＝4，

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，

又∵點E是AD邊的中點

∴DE＝AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND＝MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：①當AM的值為2時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：

∵AM＝2＝AD＝AE，∠DAM＝60°，

∴△AEM是等邊三角形，

∴AE＝EM＝DE，∠AEM＝60°，

∴∠ADM＝30°

∵∠DAM＝60°，

∴∠AMD＝90°，

∴平行四邊形AMDN是矩形；

故答案為：2；

②當AM的值為4時，四邊形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM＝4，

∴AM＝AD＝4，

∴△AMD是等邊三角形，

∴AM＝DM，

∴平行四邊形AMDN是菱形，

故答案為：4．