Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示：拋物線y=2ax2+ax-32經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若三角板ABC從點(diǎn)C開始以每秒1個(gè)單位長度的速度向x軸正方向平移，求點(diǎn)A落在拋物線上時(shí)所用的時(shí)間，并求三角板在平移過程掃過的面積；

（4）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（-3，1）（2）y=x2+x-（3）8.5（4）（1，-1）

【解析】試題分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若過B作BD⊥x軸于D，易證得△BCD≌△CAO，則BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)為：B（-3，1）．

（2）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)a的值，也就求得了拋物線的解析式．

（3）設(shè)平移后的三角形為△A′B′C′，由于是沿x軸正方向平移，所以A、A′的縱坐標(biāo)不變，且A′在拋物線的圖象上，由此可求出A′的坐標(biāo)，即可求出AA′，CC′的距離，進(jìn)而可求出平移過程所用的時(shí)間；

那么掃過部分的面積=△ABC的面積+?AA′C′C的面積．

（4）此題要分兩種情況進(jìn)行討論：

①以C為直角頂點(diǎn)，AC為直角邊；可求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷CP是否與AC相等即可．

②以A為直角頂點(diǎn)，AC為直角邊，方法同①．

試題解析：（1）過B作BD⊥x軸于D；

∵∠BCA=90°，

∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；

又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，

∴△BDC≌△COA；

∴AO=DC=2，BD=OC=1，

∴B（-3，1）．

（2）由于拋物線過B點(diǎn)，則有：2a×9+（-3）a-32=1，

解得a=

∴y=x2+x-．

（3）設(shè)平移后的三角形為△A′B′C′；

當(dāng)y=2時(shí)，x2+x-=2

解得x=3（負(fù)值舍去）；

∴A′（3，2），C′（2，0）；

∴平移過程所用去的時(shí)間為3÷1=3秒；

S掃=S△ABC+S四邊形AA′C′C=×（）2+3×2=8.5（平方單位）．

（4）①若以AC為直角邊，C為直角頂點(diǎn)；

設(shè)直線BC交拋物線y=x2+x-于P1，

易求得直線BC的解析式為y=-x-；不難求得P1（1，-1），此時(shí)CP1=AC；

∴△ACP1為等腰直角三角形；

②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；

過A作AF∥BC，交拋物線y=x2+x-于P2，易求得直線AF的解析式為y=-x+2；

因?yàn)橐訟C為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△ACP的頂點(diǎn)P有兩種情況，即AC=AP2，AC⊥AP2，

∵CO=1，AO=2，

只有P到y(tǒng)軸距離為2，到x軸距離為1，且在第一象限符合題意，

此時(shí)P2（2，1），

或者P點(diǎn)在第三象限P3（-2，3）符合題意，

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P2（2，1）與P3（-2，3）不在拋物線上，

所以，符合條件的點(diǎn)P有1個(gè)：（1，-1）．