【題目】【問(wèn)題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對(duì)∠B進(jìn)行分類(lèi),可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】
第一種情況:當(dāng)∠B是直角時(shí),△ABC≌△DEF.
(1)如圖①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù) , 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時(shí),△ABC≌△DEF.
(2)如圖②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是鈍角,求證:△ABC≌△DEF.
第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時(shí),△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿(mǎn)足什么條件,就可以使△ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,若 , 則△ABC≌△DEF.

【答案】
(1)HL
(2)

證明:如圖②,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,

∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是鈍角,

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF,

即∠CBG=∠FEH,

在△CBG和△FEH中,

∴△CBG≌△FEH(AAS),

∴CG=FH,

在Rt△ACG和Rt△DFH中,

∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),

∴∠A=∠D,

在△ABC和△DEF中,

,

∴△ABC≌△DEF(AAS);


(3)

解:如圖③中,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,

△DEF和△ABC不全等;


(4)∠B≥∠A
【解析】(1.)解:如圖①,
∵∠B=∠E=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
故答案為:HL;
(4.)解:由圖③可知,∠A=∠CDA=∠B+∠BCD,
∴∠A>∠B,
∴當(dāng)∠B≥∠A時(shí),△ABC就唯一確定了,
則△ABC≌△DEF.
故答案為:∠B≥∠A.
(1)直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF;(2)首先得出△CBG≌△FEH(AAS),則CG=FH,進(jìn)而得出Rt△ACG≌Rt△DFH,再求出△ABC≌△DEF;(3)利用已知圖形再做一個(gè)鈍角三角形即可得出答案;(4)利用(3)中方法可得出當(dāng)∠B≥∠A時(shí),則△ABC≌△DEF.

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