【題目】對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P,給出如下定義:如果點(diǎn),,……,都在△ABC的邊上,且,那么稱點(diǎn),,,……,為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn),線段,,……,為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段.

1)如圖1,△ABC中,∠A90°,ABAC,點(diǎn)PBC的中點(diǎn).

①點(diǎn)B,C ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn),線段PA,PB ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段;(填“是”或“不是”)

②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn),分別在邊AB,AC上,當(dāng)相應(yīng)的等距線段最短時(shí),在圖1中畫出線段,;

2)△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,點(diǎn)PBC上,點(diǎn)C,D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn),且PC=1,求線段DC的長(zhǎng);

3)如圖2,在RtABC中,∠C90°,∠B30°.點(diǎn)PBC上,△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè),且其中一個(gè)是點(diǎn).,直接寫出長(zhǎng)的取值范圍.(用含的式子表示)

【答案】1)①是,不是;②見解析;(2DC=12;(3.

【解析】

1)①根據(jù)閱讀材料中ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)和ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段的定義判斷即可;

根據(jù)題意,點(diǎn)PBAC的平分線上,要使相應(yīng)的等距線段最短,只要過點(diǎn)PAB、AC的垂線段即可;

2)顯然點(diǎn)D不可能在AB邊上,分點(diǎn)D在等邊△ABC的邊AC、BC上,畫出圖形,然后根據(jù)等距點(diǎn)的概念和等邊三角形的判定與性質(zhì)求解即可;

3)先求出ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè),且其中一個(gè)是點(diǎn)時(shí)的PC的長(zhǎng),進(jìn)而可得答案.

解:(1)①∵點(diǎn)PBC的中點(diǎn),∴PB=PC,∴點(diǎn)BCABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn);

PAPB,∴線段PAPB不是ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段;

故答案為:是,不是;

②線段,如圖3所示:

2)顯然,點(diǎn)D不可能在AB邊上,若點(diǎn)DAC邊上,如圖4所示,

ABC是等邊三角形,∴∠C=60°,

∵點(diǎn)C,DABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn),∴PC=PD,

∴△PCD是等邊三角形,∴CD=PC=1

若點(diǎn)DBC邊上,如圖5所示,∵點(diǎn)CDABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn),∴PC=PD=1,∴CD=2;

DC=12;

3)當(dāng)PMABPM=PC時(shí),如圖6,此時(shí)ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè),且其中一個(gè)是點(diǎn),

∵∠B30°,∴BP=2PM,∴BC=3PC=a,∴

當(dāng)點(diǎn)PBC的中點(diǎn)時(shí),如圖7所示,此時(shí)ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè),且其中一個(gè)是點(diǎn),∴

ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè),且其中一個(gè)是點(diǎn)時(shí),PC長(zhǎng)的取值范圍是:.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)根據(jù)圖示填寫如表:

班級(jí)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

九(1

85

九(2

80

2)請(qǐng)你計(jì)算九(1)和九(2)班的平均成績(jī)各是多少分。

3)結(jié)合兩班競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級(jí)的競(jìng)賽成績(jī)較好

4)請(qǐng)計(jì)算九(1)、九(2)班的競(jìng)賽成績(jī)的方差,并說明哪個(gè)班的成績(jī)比較穩(wěn)定?

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(1)計(jì)算“3點(diǎn)朝上的頻率和“5點(diǎn)朝上的頻率.

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設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),作QDx軸交拋物線于點(diǎn)D,求線段QD長(zhǎng)度的最大值。

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