Question

【題目】如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延長線于F，且垂足為E，則下列結論：①AD＝BF；②∠BAE＝∠FBC；③S△ADB＝S△ADC；④AC＋CD＝AB；⑤AD＝2BE.其中正確的結論有______(填寫序號)

Answer 1

【答案】：①②④⑤．

【解析】

證△ACD≌△BCF，推出AD=BF，CD=CF，證△AEB≌△AEF推出AB=AF，BE=EF，推出AD=BF=2BE，求出BD＞CD，根據(jù)三角形面積求出△ACD的面積小于△ADB面積，由CD=CF，AB=AF，即可求出AC+CD=AB．

解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠BCF=∠ACD=∠BEA=∠AEF=90°，
∵∠BDE=∠ADC，
∴由三角形內角和定理得：∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，∴①正確；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠CBF=∠FAE，
∴∠BAE=∠FBC，∴②正確；
過D作DQ⊥AB于Q，
則BD＞DQ，
∵AE平分∠BAC，BC⊥AC，DQ⊥AB，
∴DC=DQ，
∴BD＞CD，
∵△ADB的邊BD上的高和△ABD的面積大于△ACD的面積，∴③錯誤；

∵BF⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△AEB和△AEF中，

，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴BE=EF，
∴BF=2BE，
∵AD=BF，
∴AD=2BE，∴⑤正確；

∵△ACD≌△BCF，△AEB≌△AEF
∴CD=CF，AB=AF，

∴AB=AF=AC+CF=AC+CD，∴④正確；
故答案為：①②④⑤．