Question

19．已知：A（2，0），B（2，2），C（0，2），點(diǎn)D（m，0）是線段OA上一點(diǎn)，AE⊥BD交y軸于E，交BD于F．
（1）正方形OABC的周長是8；
（2）當(dāng)m=1時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如果$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$，直線y=kx+2-2k（k≠0）與直線EF始終有交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可得出正方形OABC的邊長，利用正方形的周長公式即可得出結(jié)論；
（2）由m=1可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線BD的解析式，根據(jù)AE⊥BD以及正方形的性質(zhì)即可證出△AOE≌△BAD（ASA），從而得出OE=AD，即得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的解析式，再聯(lián)立直線BD、AE的解析式成方程組，解方程組即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）由y=kx+2-2k=k（x-2）+2可知該直線恒過點(diǎn)B（2，2），由平行線的定義可知當(dāng)該直線與AE平行時，與直線EF則無交點(diǎn)．由（2）的結(jié)論可知當(dāng)m=$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{2}$時，點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出此時直線AE的解析式，由此即可得出當(dāng)$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$時，直線AE中一次項系數(shù)n的取值范圍，令直線y=kx+2-2k（k≠0）不與直線AE平行即可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵A（2，0），B（2，2），C（0，2），
∴正方形OABC的邊長為2，周長為4×2=8．
故答案為：8．
（2）當(dāng)m=1時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)直線BD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=2x-2．
∵AE⊥BD，四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，∠AOE=90°，BA=AO，
∴∠ADB+∠EAO=90°，∠ADB+∠DBA=90°，
∴∠EAO=∠DBA．
在△AOE和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠DBA}\\{BA=AO}\\{∠AOE=∠BAD=90°}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAD（ASA），
∴OE=AD．
∵m=1，AD=AO-m=1，
∴E（0，1）．
設(shè)直線AE的解析式為y=nx+1，
則0=2n+1，解得：n=-$\frac{1}{2}$，
∴直線AE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1．
聯(lián)立直線BD、AE的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=-\frac{1}{2}+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
（3）∵y=kx+2-2k=k（x-2）+2，
∴直線y=kx+2-2k（k≠0）始終過點(diǎn)B（2，2），
當(dāng)直線y=kx+2-2k（k≠0）與直線AE平行時，則直線y=kx+2-2k（k≠0）與直線EF無交點(diǎn)．
由（2）可知：當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，E（0，$\frac{3}{2}$）；當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，E（0，$\frac{1}{2}$）．
設(shè)直線AE的解析式為y=nx+（2-m），
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，有0=2n+$\frac{3}{2}$，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$；
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，有0=2n+$\frac{1}{2}$，解得：n₂=-$\frac{1}{4}$．
∴直線AE的解析式y(tǒng)=nx+（2-m）在$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$中，-$\frac{3}{4}$≤n≤-$\frac{1}{4}$．
∵直線y=kx+2-2k（k≠0）與直線EF始終有交點(diǎn)，
∴k＜-$\frac{3}{4}$或k＞-$\frac{1}{4}$．
答：k的取值范圍為k＜-$\frac{3}{4}$或k＞-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的周長、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解二元一次方程組以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出正方形的邊長；（2）分別求出直線BD、AE的解析式；（3）求出當(dāng)$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$時，直線AE的一次項系數(shù)的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，巧妙的利用了全等三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．