Question

【題目】問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且AE＝1；BF＝2．

（1）如圖①，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為_____；

（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PM＝2，現(xiàn)要求計(jì)算出EP、PM、MF和的最小值．九年級(jí)一班某興趣小組通過討論得出一個(gè)解決方法：在DA的延長線上取一點(diǎn)E'，使AE'＝AE，再過點(diǎn)E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點(diǎn)M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點(diǎn)即為M，再在邊AB上點(diǎn)M的上方取P點(diǎn)，且PM＝2，此時(shí)EP+PM+MF的值最�。�但他們不確定此方法是否可行，便去請(qǐng)教數(shù)學(xué)田老師，田老師高興地說：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)敘述作出草圖并計(jì)算出EP+PM+MF的最小值；

問題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽�司的線路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備架設(shè)一條經(jīng)過農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個(gè)村同時(shí)輸電．如圖所示，農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且農(nóng)田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路要與AB垂直．請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的線路圖，并計(jì)算出最短線路的長度．（要求：寫出計(jì)算過程，結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km

【解析】

（1）利用軸對(duì)稱方法求最短路線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)或作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則即為最小值；

（2）由于PM是定值，可以通過平移點(diǎn)的方式將問題轉(zhuǎn)化為問題一，再通過對(duì)稱求最短路線；

（3）由于農(nóng)田的寬度一定，故可將M點(diǎn)延AB的垂直方向移動(dòng)農(nóng)田的寬度到，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題即可，作，并在上截取（農(nóng)田的寬度），連接交于，作于，連接，，則即為最短路線．

解：（1）如圖①，延長至，使，連接，過作于，

矩形，

，

，

當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最�。�

由勾股定理得：，

故答案為；

（2）如圖②，延長至，使，在下方作，在上截取，連接交于，在上截取，連接，，

矩形

，即，

，

四邊形是平行四邊形，

，，三點(diǎn)共線，

為最小值，

即為最小值．

（3）如圖③，過作于，過作于，作交于，交于，

在上截取，連接交于，作交于，連接，

，

，

四邊形是平行四邊形，

由題意知，，，，，，

在△中，，

最短線路長度為．