Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，點P在邊AB上．

（1）判斷四邊形ABCD的形狀并加以證明；
（2）若AB=AD，以過點P的直線為軸，將四邊形ABCD折疊，使點B、C分別落在點B′、C′上，且B′C′經(jīng)過點D，折痕與四邊形的另一交點為Q．
①在圖2中作出四邊形PB′C′Q（保留作圖痕跡，不必說明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么 為何值時，B′P⊥AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形ABCD是平行四邊形

證明：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠B=180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（2）解：①作圖如下：

②當(dāng)AB=AD時，平行四邊形ABCD是菱形，

由折疊可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，

當(dāng)B′P⊥AB時，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，

∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，

∴B′D=B′E，

設(shè)AP=a，BP=b，則直角三角形APE中，PE= a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，

∴B′E=b﹣ a=B′D，

∴C′D=a+b﹣（b﹣ a）=a+ a，

∴直角三角形C′QD中，C′Q= a=CQ，DQ= C′Q= a，

∵CD=DQ+CQ=a+b，

∴ a+ a=a+b，

整理得（ +1）a=b，

∴ = = ，即 =

【解析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判斷；（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可；②先根據(jù)折疊得出一些對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，并推導(dǎo)出B′D=B′E，再設(shè)AP=a，BP=b，利用解直角三角形將DQ和CQ長用含a的代數(shù)式表示出來，最后根據(jù)CD=DQ+CQ列出關(guān)于a、b的關(guān)系式，求得a、b的比值即可．本題主要考查了平行四邊形以及菱形，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定以及菱形的判定與性質(zhì)．在解題時注意，菱形的四條邊都相等，此外在折疊問題中，需要抓住對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等這些等量關(guān)系，折疊問題的實質(zhì)是軸對稱的性質(zhì)．