【題目】已知在四邊形ABCD中,ADBC,ABBCAD2,AB4BC6

1)如圖1,PAB邊上一點(diǎn),以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,過點(diǎn)QQHBC,交BC的延長線于H.求證:△ADP≌△HCQ

2)若PAB邊上任意一點(diǎn),延長PDE,使DEPD,再以PEPC為邊作平行四邊形PCQE.請問對角線PQ的長是否存在最小值?如果存在,請求出最小值;如果不存在,請說明理由.

3)如圖2,若PDC邊上任意一點(diǎn),延長PAE,使AEnPAn為常數(shù)),以PE,PB為邊作平行四邊形PBQE.請?zhí)骄繉蔷PQ的長是否也存在最小值?如果存在,請求出最小值;如果不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)存在最小值,最小值為10;(3)存在最小值,最小值為 ( n4 )

【解析】

1)首先根據(jù)四邊形PCQD是平行四邊形,可得PD=QC;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△APD≌△HQC即可.

2)設(shè)相交于點(diǎn),由平行線得出,得出上一定點(diǎn),作,交的延長線于,證明,得出,求出得出,當(dāng)時(shí),的長最小,即為5

3)設(shè)相交于點(diǎn),由平行線得出,作,交的延長線于,過點(diǎn),交的延長線于,證明,得出,求出BH2(n1),得出,過點(diǎn),則四邊形是矩形,得出,證出,由三角函數(shù)得出CKCH·cos45°( 2n8 )( n4 ),即可得出結(jié)果.

解:(1ADBC,

∴∠ADCDCH

ADPPDCDCQQCH

∵四邊形PCQD是平行四邊形,

PDCQPDCQ,

∴∠PDCDCQ

∴∠ADPQCH,

PDCQ,ACHQ90°

∴△ADP≌△HCQAAS

2)存在最小值,最小值為10

如圖,設(shè)PQDC相交于點(diǎn)G

PECQ,易得DPG∽△CQG

PDDEPE,PECQ,

,

GDC上一定點(diǎn)

QHBC,交BC的延長線于H

同(1)可證ADPQCH

∴Rt△ADP∽Rt△QCH

,

CH4,

BHBCCH6410,

當(dāng)PQAB時(shí),PQ的長最小,即為10

3)存在最小值,最小值為 ( n4 )

如圖,設(shè)PQAB相交于點(diǎn)G

PEBQ,AEnPA,

,

GAB上一定點(diǎn),

QHDC,交CB的延長線于H,作CKCD,交QH的延長線于K

ADBC,ABBC,

∴∠ADPBHQ

∵∠PADPAGQBHQBG90°,PAGQBG

∴∠PADQBH,

∴△ADP∽△BHQ

BH2(n1) ,

CHBCBH62n22n8,

過點(diǎn)DDMBCM,則四邊形ABMD是矩形,

BMAD2,DMAB4,

MCBCBM624DM,

∴∠DCM45°,

∴∠HCK45°

CKCH·cos45°( 2n8 )( n4 ) ,

當(dāng)PQCD時(shí),PQ的長最小,最小值為 ( n4 )

練習(xí)冊系列答案
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(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B,點(diǎn)MAP中點(diǎn)時(shí),試求AN的長;

(2)如圖②,當(dāng)時(shí),

①求點(diǎn)NBC邊的距離(用含t的代數(shù)式表示)

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C時(shí),試求點(diǎn)N運(yùn)動路徑的長.

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1)求證:DE是⊙O的切線;

2)當(dāng)⊙OAB相切于點(diǎn)F時(shí),求⊙O的半徑;

3)在(2)的條件下,連接OBDE于點(diǎn)M,點(diǎn)G在線段EF上,連接GO.若∠GOM45°,求DMFG的長.

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1)求觀眾區(qū)的水平寬度AB

2)求圖1中點(diǎn)E離水平地面的高度EA

3)因?yàn)檎陉栃枰F(xiàn)將頂棚EDD點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動11°30′,若E點(diǎn)在地面上的鉛直投影是點(diǎn)F(圖2),求AF.(sin11°30′≈0.20cos11°30′≈0.98,tan11°30′≈0.20sin18°30′≈0.32,cos18°30′≈0.95tan18°30′≈0.33,結(jié)果精確到0.1m

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(2)若小明在處又測得宣傳牌頂部的仰角為,求宣傳牌的高度(結(jié)果精確到0.1米,,)

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