【題目】如圖,在△ABC中,ABAC10,tanA,點O是線段AC上一動點(不與點A,點C重合),以OC為半徑的⊙O與線段BC的另一個交點為D,作DEABE

1)求證:DE是⊙O的切線;

2)當⊙OAB相切于點F時,求⊙O的半徑;

3)在(2)的條件下,連接OBDE于點M,點G在線段EF上,連接GO.若∠GOM45°,求DMFG的長.

【答案】1)見解析;(2r;(3DM,FG=

【解析】

1)連接OD,根據(jù)等腰三角形判斷出∠ABC=∠ACB,進而得到ODAB即可得到求證;

2)連接OF,根據(jù)切線得到△AOF是直角三角形,根據(jù)tanA,設半徑OF=OC=r,則可表示出AF=rAO=10-r,勾股定理求出半徑即可得到結果;

3)現(xiàn)根據(jù)題意證出ODEF是正方形,求出BE,再根據(jù)△BEM∽△ODM,即可得到MD;在EF延長線上截取FTDM,證明出OT=OM,再證明△OGT≌△OGM,則GMGTGFFTGFDM,設出GFa,根據(jù)勾股定理求解即可.

解:(1)證明:連接OD

OC,OD均為⊙O的半徑,

OCOD

∴∠DCO=∠CDO

又∵在△ABC中,ABAC,

∴∠ABC=∠ACB

∴∠ABC=∠CDO,

ODAB

DEAB,

DEOD

DE是⊙O的切線.

2)解:連接OF,設⊙O的半徑為r,則OFr,OCr

∵⊙OAB相切于點F

ABOF,

∴∠OFA90°,

RtAOF中,∠OFA90°,OFr,tanA

AFr,

AOr

又∵AOACOC10r,

r10r

r

3)由(2)知r

AFr

∵∠ODE=∠DEF=∠OFE90°,

∴四邊形ODEF是矩形

OFOD,

∴矩形ODEF是正方形,

DEEFOF

BEABAFEF10-

∵∠BME=∠OMD,∠BEM=∠ODM90°

∴△BEM∽△ODM,

,解得DM

EF延長線上截取FTDM

∵四邊形ODEF是正方形,

∴∠OFT=∠ODM90°OFOD

∴△OFT≌△ODM,

∴∠2=∠1,OTOM

∵∠DOF90°,∠GOM45°,

∴∠GOF+∠145°,

∴∠GOF+∠245°

即∠GOT45°

∴∠GOT=∠GOM

OGOG,

∴△OGT≌△OGM,

GMGTGFFTGFDM

GFa,則EG a,GM a,且EMDEDM

RtEMG中,EM 2EG 2GM 2,即()2(a )2(a )2,解得a

FG的長為

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