Question

13．△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的半圓⊙O與AB相切于點(diǎn)E．

（1）如圖①，若CD=3AD．求證：點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)；
（2）如圖②，作DF∥AB交半圓O于F，若AE=2BE=12，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OEA=90°根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）連接OE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OE⊥DF，得到DG=$\frac{1}{2}DF$，根據(jù)勾股定理得到r=5，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OE，∵半圓⊙O與AB相切于點(diǎn)E，
∴∠OEA=90°，
設(shè)OE=OC=OD=x，
∵CD=3AD，
∴AD=$\frac{2}{3}$x，
∴AC=AB=x+x+$\frac{2}{3}$x=$\frac{8}{3}$x，
∵AE=$\sqrt{A{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{3}x）^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{4}{3}$x，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)；

（2）連接OE交DF于G，連接OE，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，
∵DF∥AB，
∴OE⊥DF，
∴DG=$\frac{1}{2}DF$，
∵AE=2BE=12，
∴BE=6，
∵AB=AC，
∴AC=12+6=18，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OA²-OE²=AE²，
∴（18-r）²-r²=12²，
∴r=5，
∵DF∥AB，
∴$\frac{GD}{AE}=\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}DF}{12}=\frac{5}{13}$，
∴DF=$\frac{120}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理．正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．