Question

如圖1，∠AOB=30°，∠BOC為∠AOB外的一個銳角，且∠BOC=80°．
（1）若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC（如圖2）．求∠MON的度數(shù)；
（2）如圖3，射線OP繞著O點在∠AOB外旋轉(zhuǎn)，OM平分∠POB，ON平分∠POA，求∠MON的度數(shù)；（直接寫出結(jié)果）
（3）如圖4，射線OP從OC處以10°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，求多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是30°？【注：本題所涉及的角都是小于180°的角】

Answer 1

考點：角的計算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）根據(jù)角的度數(shù)和角平分線定義可解題；
（1）根據(jù)角平分線定義可解題；
（3）根據(jù)角平分線和角度數(shù)計算可解題，本題需分類討論：①射線OP在∠A′OC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，②射線OP在∠AOC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)如圖2．

解答：解：（1）∵∠AOB=30°，∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+80°=110°，
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠COM=

1

2

∠BOC=

1

2

×80°=40°，
∠CON=

1

2

∠AOC=

1

2

×110°=55°，
∴∠MON=∠CON-∠COM=55°-40°=15°．
（2）∠MON=15°或者165°．
（3）設(shè)x分鐘時，∠MON的度數(shù)是30°，
依題意有：∠POQ=80°，∴∠POM=

1

2

∠POQ=40°，
有兩種情況：①射線OP在∠A′OC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)如圖3，
∠MON=∠PON-∠POM=

1

2

∠POA-40°=30°，
即：

1

2

（10x+110°）-40°=30°，
解得，x=3．
②射線OP在∠AOC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)如圖4，
∠MON=∠POM-∠PON=40°-

1

2

∠POA=30°，
即：40°-

1

2

（10x-250°）=30°，
解得，x=27．
3或27分鐘時，∠MON的度數(shù)是30°．

點評：本題考查了角的計算，考查了角平分線的定義，本題中明確角平分線定義是解題的關(guān)鍵．