【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),在點M的運動過程中,當t為何值時,∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+(2) (3)t=﹣;(4)在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P(, )
【解析】試題分析:(1)將A、B的坐標代入y=ax2+bx﹣2中,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,求出a、b的值即可得出解析式,然后利用配方法得出頂點式即可;
(2)如圖1中,先求出點F坐標,根據(jù)S△FHB=GH×|xG-xF|+GH×|xB-xG|計算即可;
(3)如圖2中,設(shè)M(2,m),(m>),因為OM2=m2+4,BM2=m2+1,OB2=9,∠OMB=90°,根據(jù)OM2+BM2=OB2,可得m2+4+m2+1=9,解方程即可解決問題;
(4)存在點P,使∠PBF被BA平分,在y軸上取一點N(0,1),求出直線BN的解析式為y=x+1,利用方程組即可求出點P坐標.
試題解析:
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,
∴
∴,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+ ;
(2)解:如圖1,
過點A作AH∥y軸交BC于H,BE于G,
由(1)有,C(0,﹣2),
∵B(0,3),
∴直線BC解析式為y=x﹣2,
∵H(1,y)在直線BC上,
∴y=﹣,
∴H(1,﹣ ),
∵B(3,0),E(0,﹣1),
∴直線BE解析式為y=﹣x﹣1,
∴G(1,﹣ ),
∴GH=,
∵直線BE:y=﹣x﹣1與拋物線y=﹣x2+x﹣2相較于F,B,
∴F(,﹣),
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××(3﹣)
=.
(3)解:如圖2,
由(1)有y=﹣x2+x﹣2,
∵D為拋物線的頂點,
∴D(2, ),
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,
∴設(shè)M(2,m),(m>),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=AB2 ,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m=或m=﹣(舍),
∴M(0, ),
∴MD=﹣,
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,
∴t=﹣;
(4)解:存在點P,使∠PBF被BA平分,
如圖3,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y軸上取一點N(0,1),
∵B(3,0),
∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①,
∵點P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上,
聯(lián)立①②得, 或(舍),
∴P(, ),
即:在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P(, ).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于有理數(shù)x,y定義新運算:x*y=ax+by -5,其中a,b為常數(shù).已知1*2=9,(-3)*3=-2,則a-b=
A.-1B.1C.-2D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求△ABP的周長.
(2)問t滿足什么條件時,△BCP為直角三角形?
(3)另有一點Q,從點C開始,按C→B→A→C的路徑運動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發(fā),當P、Q中有一點到達終點時,另一點也停止運動.當t為何值時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
利用完全平方公式,可以將多項式變形為的形式, 我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法.運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式.例如: =
=
==
根據(jù)以上材料,解答下列問題:
(1)用多項式的配方法將化成的形式;
(2)下面是某位同學(xué)用配方法及平方差公式把多項式進行分解因式的解答過程:
老師說,這位同學(xué)的解答過程中有錯誤,請你找出該同學(xué)解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方,并用“ ”標畫出來,然后寫出完整的、正確的解答過程:
(3)求證:x,y取任何實數(shù)時,多項式的值總為正數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉辦“書香校園”讀書活動,經(jīng)過對八年級(1)班的42個學(xué)生的每人讀書數(shù)量進行統(tǒng)計分析,得到條形統(tǒng)計圖如圖所示:
(1)填空:該班每個學(xué)生讀書數(shù)量的眾數(shù)是 本,中位數(shù)是 本;
(2)若把條形統(tǒng)計圖轉(zhuǎn)換為扇形統(tǒng)計圖,求該班學(xué)生“讀書數(shù)量為4本的人數(shù)”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB =AC,AD⊥BC于點D,AM是△ABC的外角∠CAE的平分線.
(1)求證:AM∥BC;
(2)若DN平分∠ADC交AM于點N,判斷△ADN的形狀并說明理由.
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