【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點,與y軸的正半軸交于點C,頂點為D,已知A(﹣1,0).
(1)求點B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.
【答案】解:(1)∵點A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,解得c=4。
∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4。
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。
(2)△CDB為直角三角形。理由如下:
由拋物線解析式,得頂點D的坐標(biāo)為(1,4)。
如答圖1所示,過點D作DM⊥x軸于點M,
則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2。
過點C作CN⊥DM于點N,
則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。
在Rt△OBC中,由勾股定理得:;
在Rt△CND中,由勾股定理得:;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:。
∵BC2+CD2=BD2,∴根據(jù)勾股定理的逆定理,得△CDB為直角三角形。
(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
∵B(3,0),C(0,3),∴,解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3。
∵直線QE是直線BC向右平移t個單位得到,
∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m,
∵B(3,0),D(1,4),∴,解得:。
∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6。
連接CQ并延長,射線CQ交BD于點G,則G(,3)。
在△COB向右平移的過程中:
①當(dāng)0<t≤時,如答圖2所示:
設(shè)PQ與BC交于點K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
設(shè)QE與BD的交點為F,
則:,解得,∴F(3﹣t,2t)。
∴S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE
=PEPQ﹣PBPK﹣BEyF
=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t2t=。
②當(dāng)<t<3時,如答圖3所示,設(shè)PQ分別與BC、BD交于點K、點J,
∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t。
直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。∴J(t,6﹣2t)。
∴S=S△PBJ﹣S△PBK=PBPJ﹣PBPK=(3﹣t)(6﹣2t)﹣(3﹣t)2=t2﹣3t+。
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:S=。
【解析】
試題(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進一步確定點B,C的坐標(biāo)。
(2)分別求出△CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形。
(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個階段:
①當(dāng)0<t≤時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;
②當(dāng)<t<3時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個三角形。
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【題目】如圖,A為∠MON內(nèi)部一定點,點P、Q分別為射線OM,ON上的動點,若△APQ的周長最小時,∠PAQ=40°,則∠MON=_____.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)點E時線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當(dāng)點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,鐵路上A,B兩點相距25 km,C,D為兩村莊,DA⊥AB于點A,CB⊥AB于點B,已知DA=15 km,CB=10 km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在離A站多少km處?
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【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,⊙M經(jīng)過原點O(0,0),點A(,0)與點B(0,﹣1),點D在劣弧OA上,連接BD交x軸于點C,且∠COD=∠CBO.
(1)請直接寫出⊙M的直徑,并求證BD平分∠ABO;
(2)在線段BD的延長線上尋找一點E,使得直線AE恰好與⊙M相切,求此時點E的坐標(biāo).
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【題目】已知:如圖,在等邊△ABC和等邊△ADE中,AD是BC邊上的中線,DE交AC于F.
求證:(1)AC⊥DE;
(2)CD=CE.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點,與軸相交于點,點、是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點、.
求點坐標(biāo);
求二次函數(shù)的解析式;
根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的的取值范圍.
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【題目】如圖,已知△ABC,∠C = 90°,.D為BC上一點,且到A,B兩點的距離相等.
(1)用直尺和圓規(guī),作出點D的位置(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)連結(jié)AD,若∠B = 35°,求∠CAD的度數(shù).
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【題目】如圖,一枚運載火箭從距雷達站C處5km的地面O處發(fā)射,當(dāng)火箭到達點A,B時,在雷達站C處測得點A,B的仰角分別為34°,45°,其中點O,A,B在同一條直線上.求A,B兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1km).
(參考數(shù)據(jù):sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.)
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