Question

【題目】如圖，矩形中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交，于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，，連接、、、.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若，，，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得對(duì)邊平行，再得內(nèi)錯(cuò)角相等，證明△CFO≌△AEO，得EO=FO，進(jìn)而根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即證；（2）根據(jù)定義證明四邊形EGFH是菱形，其性質(zhì)為對(duì)角線互相垂直，通過證△AOE∽△ABC，得對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，

∵O為AC的中點(diǎn)，

∴CO=AO，

∴△CFO≌△AEO，

∴EO=FO，

∵CO=AO，AG=CH，

∴OH=OG，

∵EO=FO，OH=OG，

∴四邊形是平行四邊形.

（2）∵EG=EH，

∴平行四邊形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，

∴∠AOE=90°

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°,BC=AD=4

∵AB=8，

∴由勾股定理得，AC= ,

∴AO=.

∵∠AOE=∠B=90°, ∠OAE=∠BAC，

∴△AOE∽△ABC，

∴ ,即

∴AE=5.