【題目】如圖,直徑為10⊙O經(jīng)過原點O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點,線段OA、OBOAOB)的長分別是方程x2+kx+48=0的兩根.

1)求線段OA、OB的長;

2)已知點C在劣弧OA上,連結(jié)BCOAD,當(dāng)OC2=CD·CB時,求C點的坐標;

3)在⊙O上是否存在點P,使SPOD=SABD.若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1OA=8,OB=6;(2C4,-2);(3)不存在,理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出OA+OBOAOB的值.連接AB,根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑,再結(jié)合勾股定理列方程求解.

2)若OC2=CDCB,則三角形OCB相似于三角形DCO,則∠COD=∠CBO.又∠COD=∠CBA,則∠CBO=∠CBA,所以點C是弧OA的中點.連接O′C,根據(jù)垂徑定理的推論,得O′E⊥OA.再進一步根據(jù)垂徑定理和勾股定理進行計算即可.

3)首先求得直線BC的解析式,求得D的坐標,根據(jù)面積相等即可求得P的縱坐標,根據(jù)圓的直徑即可作出判斷.

解:(1)連接AB∵∠BOA=90°,

∴AB為直徑,根與系數(shù)關(guān)系得OA+OB=-k,OAOB=48;

根據(jù)勾股定理,得OA2+OB2=100,

即(OA+OB2-2OAOB=100,

解得k2=196,∴k=±14(正值舍去).

則有方程x2-14x+48=0,x=68

OAOB,

∴OA=8OB=6

2)若OC2=CD×CB,則△OCB∽△DCO

∴∠COD=∠CBO,

∵∠COD=∠CBA,

∴∠CBO=∠CBA,

所以點C是弧OA的中點.

連接O′COA于點D,根據(jù)垂徑定理的推論,得O′C⊥OA,

根據(jù)垂徑定理,得OD=4,

根據(jù)勾股定理,得O′D=3

∴CD=2,即C4,-2).

3)設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b,把B0,6,C4,-2)代入

解得:K=-2,b=6

則直線BC的解析式是y=-2x+6,

y=0,解得:x=3,

OD=3,AD=8-3=5,

∴SABD=×5×6=15

SABD=SOBD,Px軸的距離是h

×3h=15,解得:h=10

⊙O′的直徑是10,因而P不能在⊙O′上,

P不存在.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;

(2)求2017年該公司的最大利潤?

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