Question

【題目】△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，過點A作直線MN，使MN∥BC，點D在直線MN上，作射線BD，將射線BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α后交直線AC于點E．

（1）如圖①，當α＝60°，且點D在射線AN上時，直接寫出線段AB，AD，AE的數(shù)量關系．

（2）如圖②，當α＝45°，且點D在射線AN上時，直寫出線段AB、AD、AE的數(shù)量關系，并說明理由．

（3）當α＝30°時，若點D在射線AM上，∠ABE＝15°，AD＝﹣1，請直接寫出線段AE的長度．

Answer 1

【答案】（1）AE＝AB+AD；（2）AE＝AB+AD，見解析；（3）線段AE的長度為﹣1或2﹣

【解析】

（1）當α＝60°時，可得△ABC是等邊三角形，判定△BAD≌△BCE，即可得到AD＝CE，進而得到AE＝AC+CE＝AB+AD；

（2）當α＝45°時，可得△ABC是等腰直角三角形，判定△BAD∽△BCE，可得CE＝AD，進而得出AE＝AC+CE＝AB+AD；

（3）分兩種情況：點E在線段AC上，點E在CA的延長線上，分別畫出圖形，依據(jù)∠ABE＝15°，AD＝﹣1，即可得到線段AE的長度．

（1）∵當α＝60°時，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABD＝∠CBE，

又∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB＝CB，∠ACB＝60°，

∴∠BCE＝120°，

∵MN∥BC，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，

∴∠BAD＝∠BCE，

∴△BAD≌△BCE，

∴AD＝CE，

∴AE＝AC+CE＝AB+AD；

（2）AE＝AB+AD．

理由：當α＝45°時，∠ABC＝∠DBE＝45°，

∴∠ABD＝∠CBE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝AB，

∵MN∥BC，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，

∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝135°，

∴∠BAD＝∠BCE，

∴△BAD∽△BCE，

∴＝＝，

∴CE＝AD，

∴AE＝AC+CE＝AB+AD；

（3）線段AE的長度為﹣1或2﹣．

由題可得，∠ABC＝∠DBE＝∠BAD＝30°，

分兩種情況：

①如圖所示，當點E在線段AC上時，

∵∠ABE＝15°＝∠ABC＝∠DBE，

∴∠ABD＝∠ABE＝15°，

在BE上截取BF＝BD，易得△ABD≌△ABF，

∴AD＝AF＝﹣1，∠ABC＝∠BAD＝∠BAF＝30°，

∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝15°+30°＝45°，

又∵∠AEF＝∠CBE+∠C＝15°+30°＝45°，

∴∠AFE＝∠AEF，

∴AE＝AF＝﹣1；

②如圖所示，當點E在CA的延長線上時，

過D作DF⊥AB于F，過E作EG⊥BC于G，

∵AD＝﹣1，∠DAF＝30°，

∴DF＝，AF＝，

∵∠DBF＝15°+30°＝45°，

∴∠DBF＝∠BDF，

∴BF＝DF＝，AB＝+＝1＝AC，

易得△ABC中，BC＝，

∵∠EBG＝15°+30°＝45°，

∴∠BEG＝∠EBG，

設BG＝EG＝x，則CG＝﹣x，

∵Rt△CEG中，tanC＝，即＝，

∴x＝＝EG，

∴CE＝2EG＝3﹣，

∴AE＝CE﹣AC＝3﹣﹣1＝2﹣

綜上所述所，線段AE的長度為﹣1或2﹣．