【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+的圖象經(jīng)過點A(2,6)和B(4,4),直線l經(jīng)過點B并與x軸垂直,垂足為Q.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖1,作AK⊥x軸,垂足為K,連接AO,點R是直線1上的點,如果△AOK與以O,Q,R為頂點的三角形相似,請直接寫出點R的縱坐標(biāo);
(3)如圖2,正方形CDEF的頂點C是第二象限拋物線上的點,點D,E在直線1上,以CF為底向右做等腰△CFM,直線l與CM,FM的交點分別是G,H,并且CG=GM,FH=HM,連接CE,與FM的交點為N,且點N的縱坐標(biāo)是﹣1.
求:①tan∠DCG的值;
②點C的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣;(2)點R的縱坐標(biāo)為12,﹣12,或﹣;(3)①tan∠DCG的值是,②點C坐標(biāo)為(﹣1,3).
【解析】
(1)將點A(2,6)和B(4,4)代入拋物線解析式,得方程組,解得a和b,再代回原解析式即可;
(2)設(shè)點R的縱坐標(biāo)為n,則QN=|n|,分兩種情況,根據(jù)相似關(guān)系列比例式即可解得;
(3)①由三角形的中位線,及證Rt△CDG≌Rt△FEH (HL)可解;
②先根據(jù)點C在拋物線上,設(shè)其橫坐標(biāo)為m,然后用其分別表示出相關(guān)點的坐標(biāo),并表示出直線CE,再根據(jù)△CFN∽△EHN,及相似三角形對應(yīng)邊上的高之比也等于相似比,從而建立關(guān)于m的方程,解之,然后代回點C即可.
(1)將點A(2,6)和B(4,4)代入y=ax2+bx+得:
,解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=.
(2)∵A(2,6),AK⊥x軸,
∴K(2,0),
△AOK中,OK=2,AK=6,OA=,
△OQR中,OQ=4,
設(shè)點R的縱坐標(biāo)為n,則QN=|n|,
如果△AOK與以O,Q,R為頂點的三角形相似,有兩種情況:
①,則n=±12;
② ,則 ,從而n=±.
答:點R的縱坐標(biāo)為,12,﹣12,或﹣.
(3)①∵CG=GM,FH=HM,
∴GH∥CF,GH=CF,
∵等腰△CFM,
∴CG=FH,
∵CDEF為正方形,
∴CD=EF,∠CDG=∠FEH=90°,
∴Rt△CDG≌Rt△FEH (HL),
∴DG=EH,
∵GH=CF,
∴DG=EH=CF=CD,
∴tan∠DCG==,
答:tan∠DCG的值是.
②∵C是第二象限拋物線y=上的點,
∴設(shè)點C坐標(biāo)為(m,),則DC=4﹣m,
∴F(m,﹣4+m),即F(m,),
∴E(4,),
∵CDEF為正方形,
∴∠DEC=45°,
故可設(shè)CE解析式為:y=﹣x+b,將點E坐標(biāo)代入得b=.
∴CE解析式為:y=﹣x﹣,
∵點N的縱坐標(biāo)是﹣1,
∴﹣1=﹣x﹣,x=﹣,
∴點N坐標(biāo)為(﹣,﹣1),
∵CDEF為正方形,
∴CF∥EH,
∴△CFN∽△EHN,
∵tan∠DCG==,DG=EH,CD=CF,
∴,則EH邊上的高與CF邊上的高的比值也為,
∴,
化簡得:﹣2m2+11m+13=0,解得m=(舍)或m=﹣1,
∴點C坐標(biāo)為(﹣1,3).
答:點C坐標(biāo)為(﹣1,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與y軸交于C點,過點A作AH⊥y軸,垂足為H,OH=3,tan∠AOH=,點B的坐標(biāo)為(m,-2).
(1)求△AHO的周長;
(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點的坐標(biāo)為(﹣3,0),B點在原點的左側(cè),與y軸交于點C(0,3),點P是直線BC上方的拋物線上一動點
(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C(如圖1所示),那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請此時點P的坐標(biāo):若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,四邊形ABCP的面積最大,并求出其最大值.
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【題目】已知矩形ABCD,作∠ABC的平分線交AD邊于點M,作∠BMD的平分線交CD邊于點N.
(1)若N為CD的中點,如圖1,求證:BM=AD+DM;
(2)若N與C點重合,如圖2,求tan∠MCD的值;
(3)若,AB=6,如圖3,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點D在BC邊上,BC=3CD,分別過點B,D作AD,AB的平行線,并交于點E,且ED交AC于點F,AD=3DF.
(1)求證:△CFD∽△CAB;
(2)求證:四邊形ABED為菱形;
(3)若DF=,BC=9,求四邊形ABED的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某海盜船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù),當(dāng)海監(jiān)船由西向東航行至A處使,測得島嶼P恰好在其正北方向,繼續(xù)向東航行1小時到達(dá)B處,測得島嶼P在其北偏西30°方向,保持航向不變又航行2小時到達(dá)C處,求出此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離(即PC的長,結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù):≈1.732,≈1.414)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公益機(jī)構(gòu)為了解市民使用“手機(jī)閱讀”的情況,對部分市民進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查(問卷調(diào)查表如左圖所示),并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩副統(tǒng)計圖(均不完整)
您如何看待手機(jī)閱讀問卷調(diào)查表 您好!請在表格中選擇一項您最認(rèn)同的觀點,在其后面空格內(nèi)打“√”,非常感謝您的配合. | ||
選項 | 觀點 | 您的選擇 |
A | 更新及時 | □ |
B | 閱讀成本低 | □ |
C | 不利于人際交往 | □ |
D | 內(nèi)容豐富 | □ |
E | 其他 | □ |
(1)本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______人.
(2)請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,表示觀點B的扇形的圓心角度數(shù)為______度.
(4)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,請估計在2萬名市民中,認(rèn)為手機(jī)閱讀“內(nèi)容豐富“的大約有______人.
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(–1,2),與x軸的一個交點A在點(–3,0)和(–2,0)之間,其部分圖象如下圖,則以下結(jié)論:①b2–4ac<0;②a+b+c<0;③c–a=2;④方程ax2+bx+c–2=0有兩個相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】2019年足球亞洲杯正在阿聯(lián)酋進(jìn)行,這項起源于我國“蹴鞠”的運(yùn)動項目近年來在我國中小學(xué)校園得到大力推廣,某次校園足球比賽規(guī)定:勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分,某足球隊共進(jìn)行了8場比賽,得了12分,該隊獲勝的場數(shù)有幾種可能( 。
A. 3B. 4C. 5D. 6
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