【題目】已知矩形ABCD,作∠ABC的平分線(xiàn)交AD邊于點(diǎn)M,作∠BMD的平分線(xiàn)交CD邊于點(diǎn)N.
(1)若N為CD的中點(diǎn),如圖1,求證:BM=AD+DM;
(2)若N與C點(diǎn)重合,如圖2,求tan∠MCD的值;
(3)若,AB=6,如圖3,求BC的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2);
【解析】
(1)如圖1,作輔助線(xiàn),構(gòu)建全等三角形,證明△DNM≌△CNE(AAS),得DM=CE,證明∠BMN=∠E=67.5°,可得結(jié)論;
(2)如圖2,當(dāng)N與C重合時(shí),BC=BM,設(shè)AB=x,則BM=BC=x,表示DM的長(zhǎng),根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論;
(3)如圖3,延長(zhǎng)MN、BC交于點(diǎn)G,根據(jù)等腰直角三角形定義可得BM的長(zhǎng),即是BG的長(zhǎng),設(shè)CG=m,則DM=2m,表示BC的長(zhǎng),列方程可得結(jié)論.
(1)證明:如圖1,延長(zhǎng)MN、BC交于點(diǎn)E,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠ABC=90°,
∴∠D=∠NCE,∠DMN=∠NEC,
∵N是DC的中點(diǎn),
∴DN=CN,
∴△DNM≌△CNE(AAS),
∴DM=CE,
∵BM平分∠ABC,∠ABC=90°,
∴∠ABM=∠MBE=45°,
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠EBM=45°,
∴∠BMD=180°﹣45°=135°,
∵MN平分∠BMD,
∴∠BMN=∠DMN=67.5°,
∴∠E=∠DMN=67.5°,
∴∠BMN=∠E=67.5°,
∴BM=BE=BC+CE=AD+DM;
(2)解:如圖2,當(dāng)N與C重合時(shí),
由(1)知:∠BMC=∠DMN=∠BCM,
∴BC=BM,
設(shè)AB=x,則BM=BC=x,
∵AD=BC,
∴DM=x﹣x,
Rt△DMC中,tan∠MCD=;
(3)解:如圖3,延長(zhǎng)MN、BC交于點(diǎn)G,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴CD=AB=6,
∵,
∴CN=2,DN=4,
∵△ABM是等腰直角三角形,
∴BM=6,
由(1)知:BM=BG=6,
∵DM∥CG,
∴△DMN∽△CGN,
∴,
設(shè)CG=m,則DM=2m,
6=6+2m+m,
m=2﹣2,
∴BC=6+2m=2+4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C,作CD垂直x軸于點(diǎn)D,連接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線(xiàn)上時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,OA、OB是⊙O的兩條半徑,OA⊥OB,C是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn),連接AC并延長(zhǎng)交⊙O于D,過(guò)點(diǎn)D作圓的切線(xiàn)交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,已知OA=6.
(1)求證:∠ECD=∠EDC;
(2)若BC=2OC,求DE長(zhǎng);
(3)當(dāng)∠A從15°增大到30°的過(guò)程中,求弦AD在圓內(nèi)掃過(guò)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿(mǎn)分8分)
為了加強(qiáng)學(xué)生課外閱讀,開(kāi)闊視野,某校開(kāi)展了“書(shū)香校園,從我做起”的主題活動(dòng).學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,對(duì)他們一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的一部分如下:
請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題:
(1)頻數(shù)分布表中的 , ;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)學(xué)校將每周課外閱讀時(shí)間在小時(shí)以上的學(xué)生評(píng)為“閱讀之星”,請(qǐng)你估計(jì)該校名學(xué)生中評(píng)為“閱讀之星”的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2D2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,…,按如圖所示的方式放置,其中點(diǎn)B1在y軸上,點(diǎn)C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3,…,在x軸上已知正方形A1,B1,C1,D1,的邊長(zhǎng)為1,∠OB1C1=30°,B1C1∥B2C2∥B3C3,…,則正方形AnBnnDn的邊長(zhǎng)是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,矩形ABCD,AB=2,BC=4,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上,并且A,O,P組成以OP為腰的等腰三角形,那么OP的長(zhǎng)等于___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,6)和B(4,4),直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B并與x軸垂直,垂足為Q.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖1,作AK⊥x軸,垂足為K,連接AO,點(diǎn)R是直線(xiàn)1上的點(diǎn),如果△AOK與以O,Q,R為頂點(diǎn)的三角形相似,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)R的縱坐標(biāo);
(3)如圖2,正方形CDEF的頂點(diǎn)C是第二象限拋物線(xiàn)上的點(diǎn),點(diǎn)D,E在直線(xiàn)1上,以CF為底向右做等腰△CFM,直線(xiàn)l與CM,FM的交點(diǎn)分別是G,H,并且CG=GM,FH=HM,連接CE,與FM的交點(diǎn)為N,且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是﹣1.
求:①tan∠DCG的值;
②點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班6個(gè)合作小組的人數(shù)分別是4,6,4,5,7,8,現(xiàn)第4小組調(diào)出1人去第2小組,則新各組人數(shù)分別為:4,7,4,4,7,8,下列關(guān)于調(diào)配后的數(shù)據(jù)說(shuō)法正確的是( 。
A. 調(diào)配后平均數(shù)變小了B. 調(diào)配后眾數(shù)變小了
C. 調(diào)配后中位數(shù)變大了D. 調(diào)配后方差變大了
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC是等腰三角形,O是底邊BC中點(diǎn),腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D
(1)求證:AC是⊙O的切線(xiàn);
(2)如圖2,連接CD,若tan∠BCD=,⊙O的半徑為,求BC的長(zhǎng).
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