【題目】提出問題:如圖1,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點P在對角線AC上,一條直角邊經過點B,另一條直角邊交邊DC與點E,求證:PB=PE
分析問題:學生甲:如圖1,過點P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N通過證明兩三角形全等,進而證明兩條線段相等.
學生乙:連接DP,如圖2,很容易證明PD=PB,然后再通過“等角對等邊”證明PE=PD,就可以證明PB=PE了.
解決問題:請你選擇上述一種方法給予證明.
問題延伸:如圖3,移動三角板,使三角板的直角頂點P在對角線AC上,一條直角邊經過點B,另一條直角邊交DC的延長線于點E,PB=PE還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
【答案】解決問題:證明見解析;問題延伸:成立,證明見解析.
【解析】試題分析:對于圖1,根據正方形的性質得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥BC,PN⊥CD,則四邊PMCN為矩形,根據角平分線性質得PM=PN,根據四邊形內角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的補角相等得到∠PBM=∠PEN,然后根據“AAS”證明△PBM≌△PEN,則PB=PE;
對于圖2,連結PD,根據正方形的性質得CB=CD,CA平分∠BCD,根據角平分線的性質得∠BCP=∠DCP,再根據“SAS”證明△CBP≌△CDP,則PB=PD,∠CBP=∠CDP,根據四邊形內角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的補角相等得到∠PBC=∠PED,則∠PED=∠PDE,所以PD=PE,于是得到PB=PD;
對于圖3,過點P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N,根據正方形的性質得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥BC,PN⊥CD,得到四邊PMCN為矩形,PM=PN,則∠MPN=90°,利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN,然后根據“AAS”證明△PBM≌△PEN,所以PB=PE.
試題解析:證明:如圖1,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,
∵PM⊥BC,PN⊥CD,
∴四邊PMCN為矩形,PM=PN,
∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,
∴∠PBC+∠CEP=180°,
而∠CEP+∠PEN=180°,
∴∠PBM=∠PEN,
在△PBM和△PEN中
∴△PBM≌△PEN(AAS),
∴PB=PE;
如圖2,連結PD,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴CB=CD,CA平分∠BCD,
∴∠BCP=∠DCP,
在△CBP和△CDP中
,
∴△CBP≌△CDP(SAS),
∴PB=PD,∠CBP=∠CDP,
∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,
∴∠PBC+∠CEP=180°,
而∠CEP+∠PEN=180°,
∴∠PBC=∠PED,
∴∠PED=∠PDE,
∴PD=PE,
∴PB=PD;
如圖3,PB=PE還成立.
理由如下:過點P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,
∵PM⊥BC,PN⊥CD,
∴四邊PMCN為矩形,PM=PN,
∴∠MPN=90°,
∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,
∴∠BPM+∠MPE=90°,
而∠MEP+∠EPN=90°,
∴∠BPM=∠EPN,
在△PBM和△PEN中
,
∴△PBM≌△PEN(AAS),
∴PB=PE.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為2,翻折∠B、∠D,使得兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,EF、GH分別是折痕(如圖2).設AE=x(0<x<2),給出下列判斷:
①當x=1時,點P是正方形ABCD的中心;
②當x=時,EF+GH>AC;
③當0<x<2時,六邊形AEFCHG面積的最大值是;
④當0<x<2時,六邊形AEFCHG周長的值不變.
其中正確的是________(填序號).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】今年十一黃金周期間,九寨溝7天中每天旅游人數的變化情況如下表(正數表示比9月30日多的人數,負數表示比9月30日少的人數):
日期 | 1日 | 2日 | 3日 | 4日 | 5日 | 6日 | 7日 |
人數變化/萬人 | +0.5 | +0.7 | +0.8 | +0.2 |
(1)、請判斷7天內游客人數量最多和最少的各是哪一天?它們相差多少萬人?(5分)
(2)、如果9月30日旅游人數為2.5萬人,平均每人消費500元,請問風景區(qū)在此7天內總收入為多少萬元?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數y=x+b的圖象與反比例函數y=(x<0)的圖象交于點A(﹣1,2)和點B,點C在y軸上.
(1)當△ABC的周長最小時,求點C的坐標;
(2)當x+b<時,請直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了了解我市2017年中考數學學科各分數段成績分布情況,從中抽取150名考生的中考數學成績進行統(tǒng)計分析.在這個問題中,樣本是指( )
A.150
B.被抽取的150名考生
C.被抽取的150名考生的中考數學成績
D.我市2013年中考數學成績
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