Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ=x，QR=y．

(1)求點(diǎn)D到BC的距離DH的長；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(3)是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DH=；（2）；（3）存在，x為或或6

【解析】

（1）根據(jù)三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DH的長；

（2）根據(jù)△RQC∽△ABC，根據(jù)三角形的相似比求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）畫出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行討論： PQ＝PR、 PQ＝RQ、 PR＝QR ．

（1）在Rt△ABC中，

∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，

∴BC＝＝10．

∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴＝，

∴DH＝AC＝×8＝

（2）∵QR∥AB，

∴∠QRC＝∠A＝90°．

∵∠C＝∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴＝，∴＝，

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x+6．

（3）存在，分三種情況：

①當(dāng)PQ＝PR時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM＝RM．

∵∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°，

∴∠1＝∠C．

∴cos∠1＝cosC＝＝，

∴＝，

∴＝，

∴x＝．

②當(dāng)PQ＝RQ時(shí)，

﹣x+6＝，

∴x＝6．

③作EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

當(dāng)PR＝QR時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，

∴EN＝MN，

∴ER＝RC，

∴點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，

∴CR＝CE＝AC＝2．

∵tanC＝＝，

∴＝，

∴x＝．

綜上所述，當(dāng)x為或6或時(shí)，△PQR為等腰三角形．