【題目】如圖1,為等腰直角三角形,,FAC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)FA、C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF、AD

1)猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論,_____________

2)將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度,得到如圖2的情形,BFAC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O,請你判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立,證明你的判斷.

3)將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到如圖3的情形,點(diǎn)恰好落在斜邊上,若,求正方形CDEF的邊長.

【答案】1BFAD,BFAD;(2)結(jié)論仍然成立.理由見解析(32

【解析】

1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CACB,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得CFCD,∠ACD90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到把CBF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到CAD,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BFAD,BFAD

2)由(1)得CBCACFCD,∠BCA=∠FCD90°,易得∠BCF=∠ACD,所以把CBF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到CAD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BFAD,BFAD

3)如圖4,作EHACH,連結(jié)CE,由于將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)105°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACD105°90°15°;再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ECD45°,則∠ACE60°,而ABC為等腰直角三角形,則∠A45°;在RtCEH中,設(shè)CHx,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE2x,EHx,在RtAEH中,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AHEHx,則AHCHxx,所以xx22,解得x2,則CE2x4,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出CDCE2

1)∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB90°,

CACB,

∵四邊形CDEF為正方形,

CFCD,∠ACD90°

∴把CBF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到CAD,

BFAD,BFAD

故答案為BFADBFAD;

2)(1)中得到的結(jié)論仍然成立.理由如下:

由(1)得CBCA,CFCD,∠BCA=∠FCD90°,

∴∠BCA+∠ACF=∠ACF+∠FCD,即∠BCF=∠ACD

∴把CBF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到CAD,

BFADBFAD;

3)如圖4,作EHACH,連結(jié)CE

∵將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)105°,

∴∠ACD105°90°15°,

∵四邊形CDEF為正方形,

∴∠ECD45°

∴∠ACE45°15°60°,

∵△ABC為等腰直角三角形,

∴∠A45°,

RtCEH中,設(shè)CHx,則CE2x

EH=x,

RtAEH中,AHEHx,

AHCHxx,

AC22,

xx22,解得x2,

CE2x4

∵△CED為等腰直角三角形,

CDCE2

即正方形CDEF的邊長為2

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