Question

【題目】已知ABCD中，AD=2AB，F是BC的中點，作AE⊥CD，垂足E在線段CD上，連結EF、AF，下列結論：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE=3∠CEF．中一定成立的是（　　）

A. ①②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】因為F是BC的中點，所以F=FC，然后根據平行四邊形的性質和AD=2AB，可得到BC=2AB=2CD，即BF=FC=AB，再根據“等邊對等角”可得∠AFB=∠BAF，然后平行線的性質，可得∠AFB=∠FAB，即可得到2∠BAF=∠BAD，故①正確；

延長EF，交AB的延長線于M，由平行四邊形的性質和中點的性質，可證明△MBF≌△ECF（ASA）然后根據全等三角形的性質和垂直的性質證得EF=AF，故②正確；

根據EF=FM可知S△EFC=S△AFM，所以可得S△ABF≤S△AEF，故③正確；

設∠FEA=x,則∠FAE=x，可得∠BAF=∠AFB=90°-x，進而求得∠EFA=180°-2x，則∠EFB=90°-x+180°-2x=270°-3x，再根據∠CFE=90°-x，可得∠BFE=3∠CEF，故④正確.

故選：D.