Question

【題目】已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠AEB的度數(shù)；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE． ①∠AEB的度數(shù)為°；
②探索線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為 ． （直接寫出答案，不需要說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE

（2）解：如圖1，∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°

（3）90；AE=BE+2CM
【解析】解： （3）①如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180﹣45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
所以答案是：90；
②如圖2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
所以答案是：AE=BE+2CM．

【考點(diǎn)精析】利用等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．