Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax2 -2ax+4(a<0) 交 x 軸于點(diǎn) A、B，與 y 軸交于點(diǎn) C，AB=6．

（1）如圖 1，求拋物線的解析式；

（2） 如圖 2，點(diǎn) R 為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，分別連接 RB、RC，設(shè)△RBC 的面積為 s，點(diǎn) R 的橫坐標(biāo)為 t，求 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，如圖 3，點(diǎn) D 在 x 軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) F 在 y 軸的正半軸上，點(diǎn) E 為 OB 上一點(diǎn)，點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接 PD、EF，PD 交 OC 于點(diǎn) G，DG=EF，PD⊥EF，連接 PE，∠PEF=2∠PDE，連接 PB、PC，過(guò)點(diǎn)R 作 RT⊥OB 于點(diǎn) T，交 PC 于點(diǎn) S，若點(diǎn) P 在 BT 的垂直平分線上，OB-TS=，求點(diǎn) R 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）R（2，4）或R（，）

【解析】

（1）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱和AB的長(zhǎng)即可求出A、B的坐標(biāo)，然后代入解析式即可；

（2）過(guò)點(diǎn)R作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得點(diǎn)R的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用“鉛垂高，水平寬”即可求出結(jié)論；

（3）設(shè)PG與EF交于點(diǎn)H，連接EG，設(shè)R點(diǎn)的坐標(biāo)為，則OT=t，根據(jù)題意求出點(diǎn)S的坐標(biāo)，即可求出直線SC的解析式，然后根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的判定、三線合一證出OP平分∠EOG，可得點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)相等，再結(jié)合已知條件即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線SC的解析式即可求出t，從而求出點(diǎn)R的坐標(biāo)．

解：（1）拋物線 y=ax2 -2ax+4(a<0)的對(duì)稱軸為x=

∵AB=6，A、B關(guān)于x=1對(duì)稱

∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1－=-2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1＋=4

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2 -2ax+4中，得

0=4a＋4a＋4

解得：a=

∴拋物線的解析式為；

（2）過(guò)點(diǎn)R作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)M

∵點(diǎn) R 的橫坐標(biāo)為 t

∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t

將x=0代入中，解得y=4

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋b

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線BC的解析式為y=-x＋4

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，-t＋4）

∴RM=

∴s=RM·（xB－xC）=·（4－0）=

（3）設(shè)PG與EF交于點(diǎn)H，連接EG

設(shè)R點(diǎn)的坐標(biāo)為，則OT=t

∵OB-TS=，OB=4

∴TS=

∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為（t，）

設(shè)直線SC的解析式為：y=mx＋n

將S、C的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線SC的解析式為

∵∠DOG=∠FOE=∠DHE=90°

∴∠ODG＋∠HEO=90°，∠OFE＋∠HEO=90°

∴∠ODG=∠OFE

∵DG=FE

∴△ODG≌△OFE

∴OG=OE，

∴點(diǎn)O在GE的中垂線上，△OGE為等腰直角三角形

∴∠GEO=∠OGE=45°

∴∠PGE=∠GEO＋∠PDE=45°＋∠PDE，∠FEG=∠OGE－∠OFE=45°－∠PDE

∵∠PEF=2∠PDE

∴∠PEG=∠PEF＋∠FEG=2∠PDE＋45°－∠PDE=45°＋∠PDE

∴∠PGE=∠PEG

∴PG=PE

∴點(diǎn)P在EG的中垂線上

∴OP垂直平分EG

∴OP平分∠EOG

∴點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)相等

∵點(diǎn) P 在 BT 的垂直平分線上

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線SC的解析式中，得

解得：

經(jīng)檢驗(yàn)：均為原方程的解

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2,4）；

當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（，）

綜上所述：R（2，4）或R（，）