Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值及此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將點(diǎn)A繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)A′，連接CA′、BA′，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA′以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A′，再沿線段A′C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S與m的函數(shù)表達(dá)式是S＝，S的最大值是，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）；（3）點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少是秒．

【解析】

（1）首先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可計(jì)算出二次函數(shù)的a值，進(jìn)而即可計(jì)算出二次函數(shù)的解析式;

（2）計(jì)算出C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)△ABM的面積為S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化簡(jiǎn)成二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求解最大值即可.

（3）首先證明△OHA′∽△OA′B，再結(jié)合A′H+A′C≥HC即可計(jì)算出t的最小值.

（1）將x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），

∵拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴3＝a+4，得a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）將y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∵點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，

∴0＜m＜3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），

將y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，0），

∵△ABM的面積為S，

∴S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，

化簡(jiǎn)，得

S＝＝，

∴當(dāng)m＝時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S＝，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

即S與m的函數(shù)表達(dá)式是S＝，S的最大值是，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）；

（3）如右圖所示，取點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，），連接HA′、OA′，

∵∠HOA′＝∠A′OB，，，

∴△OHA′∽△OA′B，

∴，

即，

∵A′H+A′C≥HC＝，

∴t≥，

即點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少是秒．