【題目】(1)如圖1,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE,DF,且BE平分∠ABD.
①求證:四邊形BFDE是菱形;
②直接寫出∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系,并說明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時,點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)①詳見解析;②60°.(2)IH=FH;(3)EG2=AG2+CE2.
【解析】
(1)①由△DOE≌△BOF,推出EO=OF,∵OB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形,再證明EB=ED即可.
②先證明∠ABD=2∠ADB,推出∠ADB=30°,延長即可解決問題.
(2)IH=FH.只要證明△IJF是等邊三角形即可.
(3)結(jié)論:EG2=AG2+CE2.如圖3中,將△ADG繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,先證明△DEG≌△DEM,再證明△ECM是直角三角形即可解決問題.
(1)①證明:如圖1中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,OB=OD,
∴∠EDO=∠FBO,
在△DOE和△BOF中,
,
∴△DOE≌△BOF,
∴EO=OF,∵OB=OD,
∴四邊形EBFD是平行四邊形,
∵EF⊥BD,OB=OD,
∴EB=ED,
∴四邊形EBFD是菱形.
②∵BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠EBD,
∵EB=ED,
∴∠EBD=∠EDB,
∴∠ABD=2∠ADB,
∵∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠ADB=30°,∠ABD=60°,
∴∠ABE=∠EBO=∠OBF=30°,
∴∠EBF=60°.
(2)結(jié)論:IH=FH.
理由:如圖2中,延長BE到M,使得EM=EJ,連接MJ.
∵四邊形EBFD是菱形,∠B=60°,
∴EB=BF=ED,DE∥BF,
∴∠JDH=∠FGH,
在△DHJ和△GHF中,
,
∴△DHJ≌△GHF,
∴DJ=FG,JH=HF,
∴EJ=BG=EM=BI,
∴BE=IM=BF,
∵∠MEJ=∠B=60°,
∴△MEJ是等邊三角形,
∴MJ=EM=NI,∠M=∠B=60°
在△BIF和△MJI中,
,
∴△BIF≌△MJI,
∴IJ=IF,∠BFI=∠MIJ,∵HJ=HF,
∴IH⊥JF,
∵∠BFI+∠BIF=120°,
∴∠MIJ+∠BIF=120°,
∴∠JIF=60°,
∴△JIF是等邊三角形,
在Rt△IHF中,∵∠IHF=90°,∠IFH=60°,
∴∠FIH=30°,
∴IH=FH.
(3)結(jié)論:EG2=AG2+CE2.
理由:如圖3中,將△ADG繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,
∵∠FAD+∠DEF=90°,
∴AFED四點(diǎn)共圓,
∴∠EDF=∠DAE=45°,∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠EDC=45°,
∵∠ADF=∠CDM,
∴∠CDM+∠CDE=45°=∠EDG,
在△DEM和△DEG中,
,
∴△DEG≌△DEM,
∴GE=EM,
∵∠DCM=∠DAG=∠ACD=45°,AG=CM,
∴∠ECM=90°
∴EC2+CM2=EM2,
∵EG=EM,AG=CM,
∴GE2=AG2+CE2.
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【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上.
(1)畫出△ABC先向右平移5個單位長度,再向上平移2個單位長度所得的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC的中線AD;
(3)畫出△ABC的高CE所在直線,標(biāo)出垂足E:
(4)在(1)的條件下,線段AA1和CC1的關(guān)系是
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【題目】某校為學(xué)生開展拓展性課程,擬在一塊長比寬多6米的長方形場地內(nèi)建造由兩個大棚組成的植物養(yǎng)殖區(qū)(如圖1),要求兩個大棚之間有間隔4米的路,設(shè)計方案如圖2,已知每個大棚的周長為44米.
(1)求每個大棚的長和寬各是多少?
(2)現(xiàn)有兩種大棚造價的方案,方案一是每平方米60元,超過100平方米優(yōu)惠500元,方案二是每平方米70元,超過100平方米優(yōu)惠總價的20%,試問選擇哪種方案更優(yōu)惠?
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【題目】由5個大小相同的小正方體拼成的幾何體如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.主視圖的面積最小
B.左視圖的面積最小
C.俯視圖的面積最
D.三個視圖的面積相等
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知△ABC三個定點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,點(diǎn)A,B,C的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、B1、C1,直接寫出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo);
(2)畫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C2,連接C1C2,CC2,C1C,求△CC1C2的面積.
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【題目】如圖,∠1=80°,∠2=100°,∠C=∠D.
(1)判斷AC與DF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠C比∠A大20°,求∠F的度數(shù).
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【題目】將九年級部分男生擲實(shí)心球的成績進(jìn)行整理,分成5個小組(x表示成績,單位:米).A組:5.25≤x<6.25;B組:6.25≤x<7.25;C組:7.25≤x<8.25;D組:8.25≤x<9.25;E組:9.25≤x<10.25,并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(不完整).規(guī)定x≥6.25為合格,x≥9.25為優(yōu)秀.
(1)這部分男生有多少人?其中成績合格的有多少人?
(2)這部分男生成績的中位數(shù)落在哪一組?扇形統(tǒng)計圖中D組對應(yīng)的圓心角是多少度?
(3)要從成績優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機(jī)選出2人介紹經(jīng)驗(yàn),已知甲、乙兩位同學(xué)的成績均為優(yōu)秀,求他倆至少有1人被選中的概率.
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【題目】如圖,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓,點(diǎn)D是 上的一點(diǎn),BD交AC于點(diǎn)E,若BC=4,AD= ,則AE的長是 .
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