Question

如圖，一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí)，鐵環(huán)與鐵鉤相切，這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖，已知鐵環(huán)的半徑為25cm，鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)也地面接觸點(diǎn)為A，且sin∠MOA=

3

5

．
（1）求點(diǎn)M離地面AC的高度BM．
（2）設(shè)人站立點(diǎn)C與A點(diǎn)的水平距離AC=55cm，求鐵環(huán)鉤MF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為求HA的長(zhǎng)，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；
（2）因?yàn)椤螹OH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因?yàn)閟in∠MOA=

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，所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系，即FN=

3

5

FM，再根據(jù)MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10個(gè)單位．

解答：解：過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，
HM=OM×sinα=15，
所以O(shè)H=20，
MB=HA=25-20=5，
所以鐵環(huán)鉤離地面的高度為5cm；

（2）∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，
∴

FN

FM

=sin∠MOA=

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5

，
∴FN=

3

5

FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40．  
∵FM²=FN²+MN²
即FM²=（

3

5

FM）²+40²，
解得：FM=50，
∴鐵環(huán)鉤的長(zhǎng)度FM為50cm．

點(diǎn)評(píng)：考查了解直角三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，只要把實(shí)際問題抽象到解直角三角形中即可解答．