Question

如圖，在△ABC中兩個外角∠EAC和∠FCA的平分線交于D點，求證：∠ADC=90°-

1

2

∠ABC．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：證明題

分析：先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=

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2

∠EAC，∠2=

1

2

∠ACF，再利用鄰補(bǔ)角的定義得∠BAC=180°-∠EAC，∠ACB=180°-∠ACF，則∠BAC+∠ACB=360°-2（∠1+∠2），然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC+∠ACB=180°-∠B，∠1+∠2=180°-∠D，所以180°-∠B=360°-2（180°-∠D），再進(jìn)行整理即可得到結(jié)論．

解答：證明：∵DA和DC為△ABC的兩外角平分線，
∴∠1=

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2

∠EAC，∠2=

1

2

∠ACF，
∵∠BAC=180°-∠EAC，∠ACB=180°-∠ACF，
∴∠BAC=180°-2∠1，∠ACB=180°-2∠2，
∴∠BAC+∠ACB=360°-2（∠1+∠2），
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B，∠1+∠2=180°-∠D，
∴180°-∠B=360°-2（180°-∠D），
∴180°-∠B=2∠D，
即∠ACD=90°-

1

2

∠ABC．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．