【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上,邊OC在y軸的正半軸上,且AB=1,OB=,矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD.點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A,E,D.
(1)判斷點(diǎn)E是否在y軸上,并說明理由;
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P,點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O,B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍,且點(diǎn)P在拋物線上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)在;(2);(3)當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,2)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1(-,2),Q2(,2);當(dāng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-,2)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3(-,2),Q4(,2).
【解析】
(1)可連接OA,通過證∠AOE=60°,即與旋轉(zhuǎn)角相同來得出OE在y軸上的結(jié)論.
(2)已知了AB,OB的長即可求出A的坐標(biāo),在直角三角形OEF中,可用勾股定理求出OE的長,也就能求得E點(diǎn)的坐標(biāo),要想得出拋物線的解析式還少D點(diǎn)的坐標(biāo),可過D作x軸的垂線,通過構(gòu)建直角三角形,根據(jù)OD的長和∠DOx的正弦和余弦值來求出D的坐標(biāo).
求出A、E、D三點(diǎn)坐標(biāo)后即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)可先求出矩形的面積,進(jìn)而可得出平行四邊形OBPQ的面積.由于平行四邊形中OB邊的長是定值,因此可根據(jù)平行四邊形的面積求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)(由于P點(diǎn)在x軸上方,因此P的縱坐標(biāo)為正數(shù)),然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線中可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后,將P點(diǎn)分別向左、向右平移OB個(gè)單位即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)和四個(gè)Q點(diǎn)坐標(biāo).
(1)點(diǎn)E在y軸上
理由如下:
連接AO,如圖所示,在Rt△ABO中,∵AB=1,BO=,
∴AO=2∴sin∠AOB=,∴∠AOB=30°
由題意可知:∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵點(diǎn)B在x軸上,∴點(diǎn)E在y軸上.
(2)過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,
∵OD=1,∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中,DM=,OM=
∵點(diǎn)D在第一象限,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,)
由(1)知EO=AO=2,點(diǎn)E在y軸的正半軸上
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2)
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-,1)
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)E,
∴c=2
由題意,將A(-,1),D(,)代入y=ax2+bx+2中,
得
解得
∴所求拋物線表達(dá)式為:y=-x2-x+2
(3)存在符合條件的點(diǎn)P,點(diǎn)Q.
理由如下:∵矩形ABOC的面積=ABBO=
∴以O,B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為2.
由題意可知OB為此平行四邊形一邊,
又∵OB=
∴OB邊上的高為2
依題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,2)
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2-x+2上
∴-m2-m+2=2
解得,m1=0,m2=-
∴P1(0,2),P2(-,2)
∵以O,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
∴PQ∥OB,PQ=OB=,
∴當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,2)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1(-,2),Q2(,2);
當(dāng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-,2)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3(-,2),Q4(,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)CD⊥y軸于點(diǎn)D,CE⊥x軸于點(diǎn)E,OA=6,AD=OE.
(1)求直線AB的解析式;
(2)連接ED,過點(diǎn)C作CF⊥ED,垂足為F,過點(diǎn)B作x軸的垂線交FC的延長線于點(diǎn)G,求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接AG,作四邊形AOBG關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形四邊形AONM,連接DN,將線段DN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PN,H為OD中點(diǎn),連接MH、PH,四邊形MHPN的面積為40,連接FH,求線段FH的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球,這些球除顏色外都相同.
⑴如果從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出紅色球的概率為_____________;
⑵若從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,請(qǐng)通過列表或畫樹狀圖的方法,求兩次摸到不同顏色球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn),過點(diǎn)作軸、軸的垂線,分別交直線于點(diǎn)、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)下方.若直線與軸交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),則的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中放置5個(gè)正方形,點(diǎn)B1在y軸上,點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上.若正方形A1B1C1D1的邊長為1,∠B1C1O﹦60,B1C1∥B2C2∥B3C3,則點(diǎn)A3到x軸的距離是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,E是AC邊上的一點(diǎn),且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.
(1)求證:EF=BF;
(2)求證:BC是⊙O的切線.
(3)若AB=4,BC=3,求DE的長,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,3)、B(-1,0)、C(4,0).
(1)經(jīng)過平移,可使△ABC的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1坐標(biāo);(不必畫出平移后的三角形)
(2)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′BC′,畫出△A′BC′并寫出A′點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)以點(diǎn)A為位似中心放大△ABC,得到△AB2C2,使放大前后的面積之比為1∶4,請(qǐng)你在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場要經(jīng)營一種新上市的文具,進(jìn)價(jià)為20元,試營銷階段發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí),每天的銷售量為250件,銷售單價(jià)每上漲1元,每天的銷售量就減少10件
(1)寫出商場銷售這種文具,每天所得的銷售利潤(元)與銷售單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí),該文具每天的銷售利潤最大;
(3)商場的營銷部結(jié)合上述情況,提出了A、B兩種營銷方案
方案A:該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元;
方案B:每天銷售量不少于10件,且每件文具的利潤至少為25元
請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤更高,并說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AB=4,∠DAB=120°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過P作PE⊥AB交AB于點(diǎn)E,作PF⊥AD交AD于點(diǎn)F,設(shè)四邊形AEPF與△ABD的重疊部分的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)用含t的代數(shù)式表示線段BE的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),求t的值;
(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí),有一點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒6個(gè)單位的速度沿折線C﹣D﹣A﹣B運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是Q',直接寫出PQ'與菱形ABCD的邊垂直時(shí)t的值.
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