Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，∠DAB＝120°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)P作PE⊥AB交AB于點(diǎn)E，作PF⊥AD交AD于點(diǎn)F，設(shè)四邊形AEPF與△ABD的重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段BE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，求t的值；

（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，有一點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿折線C﹣D﹣A﹣B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是Q'，直接寫出PQ'與菱形ABCD的邊垂直時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）BE＝4﹣t；（2）t＝1；（3）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；（4）t的值為s或s或s

【解析】

（1）解直角三角形求出AE即可解決問(wèn)題．

（2）根據(jù)PA＝OA，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形分別畫出圖形解決問(wèn)題即可．

（4）分三種情形：①如圖4﹣1中，當(dāng)PQ′⊥BC時(shí)．②如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合時(shí)．③如圖4﹣3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝60°，

∴△ADC，△ABC都是等邊三角形，

∵PE⊥AB，PA＝2t，

∴∠PEA＝90°，∠APE＝30°，

∴AE＝PA＝t，

∴BE＝AB﹣AE＝4﹣t．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PA＝OA＝2＝2t，

∴t＝1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．

（3）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖1中，重疊部分是四邊形PEAF，S＝2××t×t＝t2．

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2中，重疊部分是五邊形AEMNF，S＝S四邊形PEAF﹣S△PMN＝t2﹣．

（4）如圖4﹣1中，當(dāng)PQ′⊥BC時(shí)，易知PC＝2CQ′，可得4﹣2t＝2×6t，解得t＝．

如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合時(shí)，PQ⊥AB，則有：6t+t＝8，t＝

如圖4﹣3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，PQ′⊥AD，則有：6t＝8+t，t＝，

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s或s．