Question

2．求使方程x²-pqx+p+q=0有整數(shù)根的所有正整數(shù)p和q．

Answer 1

分析 設方程x²-pqx+p+q=0的整數(shù)根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=pq，x₁x₂=p+q，推出x₁，x₂同號，x₁，x₂都大于0，于是得到p+q+1≥pq （p-1）（q-1）≤2，得到方程p-1=1 q-1=2 或p-1=1 q-1=1于是得到結論．

解答 解：設方程x²-pqx+p+q=0的整數(shù)根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=pq，x₁x₂=p+q，
∴x₁，x₂同號，x₁，x₂都大于0，而兩個正整數(shù)的乘積+1≥兩個正整數(shù)的和，
∴p+q+1≥pq，（p-1）（q-1）≤2，
∴p-1=1，q-1=2 或p-1=1，q-1=1，
∴p=2，q=3或 p=2，q=2或p=3，q=2．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系，根的判別式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當△＜0時，方程無實數(shù)根．
上面的結論反過來也成立；