Question

【題目】如圖，為的直徑，是的弦，是弧的中點，弦于點，交于點，過點作的切線，交延長線于點，連接．

（1）求證：；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，如圖，先利用切線的性質(zhì)得OC⊥PC，再利用垂徑定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；

（2）設OC與AE交于點H，如圖，利用垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得，則AF=CF=5，在中利用三角函數(shù)的定義可計算出，，進而證明，得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后證明，于是利用相似比可計算出BE．

證明：（1）連接，如圖，

∵為的切線，

∴，

∵是弧的中點，

∴，

∴；

（2）設與交于點，如圖，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，

∴，，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

故答案為：12．