【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離.OA⊥l于點A,交⊙O于點P,OA=5,AB與⊙O相切于點B,BP的延長線交直線l于點C.
(1)求證:AB=AC;
(2)若PC=2,求⊙O的半徑及線段PB的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)⊙O的半徑為3,線段PB的長為.
【解析】
(1)連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,在Rt△OAB中根據(jù)勾股定理求出r,再證△DPB∽△CPA,得出=,代入求出即可.
證明:(1)如圖1,連接OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)如圖2,延長AP交⊙O于D,連接BD,
設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,
則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,
AC2=PC2﹣PA2=(2)2﹣(5﹣r)2,
∴52﹣r2=(2)2﹣(5﹣r)2,
解得:r=3,
∴AB=AC=4,
∵PD是直徑,
∴∠PBD=90°=∠PAC,
又∵∠DPB=∠CPA,
∴△DPB∽△CPA,
∴=,
∴=,
解得:PB=.
∴⊙O的半徑為3,線段PB的長為.
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【題目】元旦匯演,小明同學(xué)演出,他準(zhǔn)備的道具是:甲、乙、丙三個袋中均裝有三張除所寫漢字外完全相同的卡片,三張卡片上分別標(biāo)有的三個字為“中”“國”、“夢”,
(1)小明在甲袋中隨機取出一張卡片,求卡片上字是“夢”的概率;
(2)小明隨機從甲、乙、丙三個袋中各取出一張,用畫樹狀圖或列表格的方法,求取出的三張字卡能夠組成“中國夢”的概率.
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【題目】如圖:在△ABC中,AB=13,BC=12,點D,E分別是AB,BC的中點,連接DE,CD,如果DE=2.5,那么△ACD的周長是_____.
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【題目】已如拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點,這兩點的坐標(biāo)分別是(0,﹣)和(m﹣b,m2﹣mb+n),其中a,b,c,m,n為實數(shù),且a,m不為0.
(1)求c的值;
(2)求證:拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點;
(3)當(dāng)﹣1≤x≤1時,設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸距離最大的點為P(x0,y0),求這時|y0|的最小值.
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【題目】某省為解決農(nóng)村飲用水問題,省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以一定比例的補助.2008年,A市在省財政補助的基礎(chǔ)上投入600萬元用于“改水工程”,計劃以后每年以相同的增長率投資,2010年該市計劃投資“改水工程”1176萬元.
(1)求A市投資“改水工程”的年平均增長率;
(2)從2008年到2010年,A市三年共投資“改水工程”多少萬元?
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【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果,進(jìn)價為20元/千克,售價不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價為23.5元/千克,求當(dāng)天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價為多少元?
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【題目】(1)如圖(1),△ABC和△AOD都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點B在線段AE上,點C在線段AD上,請直接寫出線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系;
(2)如圖(2),將圖(1)中的△ABC繞點A順時針施轉(zhuǎn)α(0°<α<360°),那么(1)中線段BE與線段CD的關(guān)系是否還成立?如果成立,請你結(jié)合圖(2)給出的情形進(jìn)行證明;如果不成立,說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣2,0)與點C(8,0)兩點,與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D.
(1)直接寫出B點的坐標(biāo);
(2)求該二次函數(shù)的解析式;
(3)若點P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的一個動點(其中m>0,n<0),連結(jié)PB,PD,BD,AB.請問是否存在點P,使得△BDP的面積恰好等于△ADB的面積?若存在請求出此時點P的坐標(biāo),若不存在說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只不透明的袋子中,裝有2個白球和1個紅球,這些球除顏色外都相同.
(1)小明認(rèn)為,攪勻后從中任意摸出一個球,不是白球就是紅球是等可能的,你同意他的說法嗎?為什么?
(2)攪勻后從中一把摸出兩個球,請通過列表和樹狀圖求出兩個球都是白球的概率.
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