【題目】如圖①,C為線(xiàn)段BE上的一點(diǎn),分別以BC和CE為邊在BE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形CEFG,M、N分別是線(xiàn)段AF和GD的中點(diǎn),連接MN

(1)線(xiàn)段MN和GD的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
(2)將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,如圖②,(1)的結(jié)論是否成立?說(shuō)明理由;
(3)已知BC=7,CE=3,將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周,其他條件不變,直接寫(xiě)出MN的最大值和最小值.

【答案】
(1)MN= DG;MN⊥DG
(2)

解:的結(jié)論仍然成立.

理由:過(guò)點(diǎn)M作MT⊥DC于T,過(guò)點(diǎn)M作MR⊥BC于R,連接FC、MD、MG,如圖②,

則A、F、C共線(xiàn),MR∥FG∥AB,MT∥EF∥AD.

∵AM=FM,

∴BR=GR= BG,DT=ET= DE,

∴MR= (FG+AB),MT= (EF+AD).

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,

∴FG=GC=EC=EF,AB=BC=DC=AD,

∴MR=MT,RG=TD.

在△MRG和△MTD中,

,

∴△MRG≌△MTD,

∴MG=MD,∠RMG=∠TMD,

∴∠RMT=∠GMD.

∵∠MRC=∠RCT=∠MTC=90°,

∴四邊形MRCT是矩形,

∴∠RMT=90°,

∴∠GMD=90°.

∵M(jìn)G=MD,∠GMD=90°,DN=GN,

∴MN⊥DG,MN= DG.


(3)

解:延長(zhǎng)GM到點(diǎn)P,使得PM=GM,延長(zhǎng)GF、AD交于點(diǎn)Q,連接AP,DP,DM如圖③,

在△AMP和△FMG中,

,

∴△AMP≌△FMG,

∴AP=FG,∠APM=∠FGM,

∴AP∥GF,

∴∠PAQ=∠Q,

∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO,

∠ODQ=∠OGC=90°,

∴∠Q=∠GCO,

∴∠PAQ=∠GCO.

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,

∴DA=DC,GF=GC,

∴AP=CG.

在△APD和△CGD中,

,

∴△APD≌△CGD,

∴PD=DG.

∵PM=GM,

∴DM⊥PG.

∵DN=GN,

∴MN= DG.

∵GC=CE=3,

∴點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心,3為半徑的圓上,

∵DC=BC=7,

∴DG的最大值為7+3=10,最小值為7﹣3=4,

∴MN的最大值為5,最小值為2.


【解析】解:(1)連接FN并延長(zhǎng),與AD交于點(diǎn)S,如圖①.

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形,
∴∠D=90°,AD=DC,GC=GF,AD∥BE∥GF,
∴∠DSN=∠GFN.
在△SDN和△FGN中,
,
∴△SDN≌△FGN,
∴DS=GF,SN=FN.
∵AM=FM,
∴MN∥AS,MN= AS,
∴∠MNG=∠D=90°,
MN= (AD﹣DS)= (DC﹣GF)= (DC﹣GC)= DG.
故答案為MN= DG,MN⊥DG;
(1)連接FN并延長(zhǎng),與AD交于點(diǎn)S,如圖①,易證△SDN≌△FGN,則有DS=GF,SN=FN,然后運(yùn)用三角形中位線(xiàn)定理就可解決問(wèn)題;(2)過(guò)點(diǎn)M作MT⊥DC于T,過(guò)點(diǎn)M作MR⊥BC于R,連接FC、MD、MG,如圖②,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得BR=GR= BG,DT=ET= DE,根據(jù)梯形中位線(xiàn)定理可得MR= (FG+AB),MT= (EF+AD),從而可得MR=MT,RG=TD,由此可得△MRG≌△MTD,則有MG=MD,∠RMG=∠TMD,則有∠RMT=∠GMD,進(jìn)而可證到△DMG是等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半,就可解決問(wèn)題;(3)連接GM到點(diǎn)P,使得PM=GM,延長(zhǎng)GF、AD交于點(diǎn)Q,連接AP,DP,DM如圖③,易證△APD≌△CGD,則有PD=DG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥PG,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得MN= DG.要求MN的最大值和最小值,只需求DG的最大值和最小值,由GC=CE=3可知點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心,3為半徑的圓上,再由DC=BC=7,就可求出DG的最大值和最小值.

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(1)求證:GC是⊙F的切線(xiàn);
(2)填空: ①若∠BAD=45°,AB=2 ,則△CDG的面積為
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