Question

已知，如圖（1），在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、G分別在AB、CD上，且AE=CG，連接CE交BG的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：BG=CE，BF⊥CE．
（2）過(guò)圖（1）中的點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△AEC≌△CGB，得到BG=CE；進(jìn)而證明∠CBG+∠BCF=∠BCG+∠ACD=90°，即可解決問(wèn)題．
（2）證明DM=DG，此為解決問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論；借助DG=DE即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠A=∠BCG=45°；
在△AEC與△CGB中，

AC=BC ∠A=∠BCG AE=CG

，
∴△AEC≌△CGB（SAS），
∴BG=CE；∠ACE=∠CBG；
∴∠CBG+∠BCF=∠BCG+∠ACD=90°，
∴BF⊥CE．
（2）CM=BE．
∵BF⊥CH，AM⊥CH，
∴AM∥BF，
∴△ADM∽△BDG，
∴DM：DG=AD：BD，而AD=BD，
∴DM=DG；而AE=CG，
∴DE=DG，
∴DM=DE，
∴CM=BE．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握定理是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用解題是關(guān)鍵．