Question

【題目】閱讀材料：等腰三角形具有性質(zhì)“等邊對(duì)等角”．事實(shí)上，不等邊三角形也具有類似性質(zhì)“大邊對(duì)大角”：如圖1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．證明如下：將AB沿△ABC的角平分線AD翻折（如圖2），因?yàn)?/span>AB＞AC，所以點(diǎn)B落在AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B'處．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．

（1）靈活運(yùn)用：從上面的證法可以看出，折紙常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．由此小明想到可用類似方法證明“大角對(duì)大邊”：如圖3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分線翻折……請(qǐng)你幫助小明完成后面的證明過程．

（2）拓展延伸：請(qǐng)運(yùn)用上述方法或結(jié)論解決如下問題：

如圖4，已知M為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AM并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．求證：AM＋AN＞2BD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接DC，結(jié)合中垂線的性質(zhì)定理與三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，即可得到結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使得CE=CN，連接AE交BC于點(diǎn)F．易證△ACE≌△CAN，得AE=AN．過點(diǎn)C作PQ⊥AC，分別交AN、AE于點(diǎn)P、Q，結(jié)合“三角形中，大角對(duì)大邊”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，進(jìn)而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接DC．

將∠B沿BC的中垂線DE翻折（如圖3），使點(diǎn)B落在點(diǎn)C處．

∵∠ACB＞∠ABC，

∴CD在△ABC的內(nèi)部，

∵DE為BC的中垂線，

∴DB=DC．

∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，

∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；

（2）如圖4，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使得CE=CN，連接AE交BC于點(diǎn)F．

∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，

∴△ACE≌△ACN（SAS），

∴AE=AN．

過點(diǎn)C作PQ⊥AC，分別交AN、AE于點(diǎn)P、Q．

∵∠ACP=∠ACQ=90°，

∴AP＞AC，AQ＞AC，

∴AP＋AQ＞2AC．

∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，

∴∠QCE＞∠E，

∴QE＞CQ．

同理可得：PC＞PM．

∵△ACE≌△ACN，

∴∠CAN=∠CAE，

又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，

∴△ACP≌△ACQ（ASA），

∴PC=CQ，

∴QE＞PM，

∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．

又∵AP＋AQ＞2AC，

∴AM＋AN＞2AC．

∵正方形ABCD中，AC=BD，

∴AM＋AN＞2BD．