【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°AB=2cm,AC=4cm.動點P從點A出發(fā),沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動,動點Q從點B同時出發(fā),沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動.當點P到達點B時,P,Q兩點同時停止運動,以AP為一邊向上作正方形APDE,過點QQF∥BC,交AC于點F.設(shè)點P的運動時間為ts,正方形和梯形重合部分的面積為Scm2

1)當t= _________ s時,點P與點Q重合;

2)當t= _________ s時,點DQF上;

3)當點PQB兩點之間(不包括Q,B兩點)時,求St之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】11 23

【解析】

試題(1)當點P與點Q重合時,AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,

∴t+t=2,解得t=1s

故填空答案:1

2)當點DQF上時,如答圖1所示,此時AP=BQ=t

∵QF∥BCAPDE為正方形,∴△PQD∽△ABC,

∴DPPQ=ACAB=2,則PQ=DP=AP=t

AP+PQ+BQ=AB=2,得t+t+t=2,解得:t=

故填空答案:

3)當PQ重合時,由(1)知,此時t=1;

D點在BC上時,如答圖2所示,此時AP=BQ=t,BP=t,求得t=s,進一步分析可知此時點E與點F重合;

當點P到達B點時,此時t=2

因此當P點在QB兩點之間(不包括Q,B兩點)時,其運動過程可分析如下:

1t≤時,如答圖3所示,此時重合部分為梯形PDGQ

此時AP=BQ=t,∴AQ=2﹣tPQ=AP﹣AQ=2t﹣2;

易知△ABC∽△AQF,可得AF=2AQ,EF=2EG

∴EF=AF﹣AE=22﹣t﹣t=4﹣3tEG=EF=2﹣t,

∴DG=DE﹣EG=t﹣2﹣t=t﹣2

S=S梯形PDGQ=PQ+DGPD=[2t﹣2+t﹣2]t=t2﹣2t;

t2時,如答圖4所示,此時重合部分為一個多邊形.

此時AP=BQ=t∴AQ=PB=2﹣t,

易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM,可得AF=2AQ,PM=2PBDM=2DN,

∴AF=4﹣2t,PM=4﹣2t

DM=DP﹣PM=t﹣4﹣2t=3t﹣4,∴DN=3t﹣4).

S=S正方形APDE﹣SAQF﹣SDMN=AP2AQAF﹣DNDM

=t22﹣t)(4﹣2t×3t﹣4×3t﹣4

=﹣t2+10t﹣8

綜上所述,當點PQ,B兩點之間(不包括QB兩點)時,St之間的函數(shù)關(guān)系式為:

S=

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