Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于點D，點E在AB邊上，點F在AC邊的延長線上，連接EF交BC于點M，交AD于點N，∠AEF=2∠F，EM=FM．
（1）求證：∠B=

3

2

∠F．
（2）如圖2，過點A作AH⊥EF于H，若AH=5，△AEN的面積為15，求線段CF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點E作EG∥AC交BC于點G，就可以得出∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F，就有∠AEG=3∠F=∠B+∠BGE而得出結(jié)論；
（2）如圖2，作EL∥BC交AC于L，連結(jié)NL，就可以得出∠AEL=∠ALE=∠B=∠ACB=

3

2

∠F，∠LEN=2∠F-

3

2

∠F=

1

2

∠F，就可以得出∠LNF=∠F，就有LN=LF=EN．由EG=EB=CF=LC就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過點E作EG∥AC交BC于點G，
∴∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F，
∵∠AEF=2∠F，
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F．
即∠AEG=3∠F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∴∠BGE=∠B．
∵∠AEG=∠B+∠BGE，
∴∠AEG=2∠B，
∴3∠F=2∠B，
∴∠B=

3

2

∠F；
（2）如圖2，作EL∥BC交AC于L，連結(jié)NL
∴∠AEL=∠ALE=∠B=∠ACB=

3

2

∠F．
∴∠LEN=2∠F-

3

2

∠F=

1

2

∠F．
∵EG∥AC，EL∥BC，
∴四邊形EGCL是平行四邊形，
∴EG=LC．
在△EGM和△FCM中，

∠GEM=∠F EM=FM ∠GME=∠FMC

，
∴△EGM≌△FCM（ASA），
∴EG=CF，
∴LC=CF．
∴CF=

1

2

LF．
∵∠AEL=∠ALE，
∴AE=AL．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△EAN和△LAN中

EA=LA ∠BAD=∠CAD AN=AN

，
∴△EAN≌△LAN（SAS），
∴EN=LN．
∴∠LEN=∠ELN=

1

2

∠F．．
∵∠LNF=∠LEN+∠NLE=∠F，
∴LN=LF，
∴EN=LF．
∵

1

2

EN•AH=15，
∴

1

2

×5EN=15，
∴EN=6．
∴LF=6，
∴CF=3．

點評：本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用．解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．