Question

如圖，AC為⊙O的直徑，AC=4，B、D分別在AC兩側(cè)的圓上，∠BAD=60°，BD與AC的交點為E．
（1）求∠BOD的度數(shù)及點O到BD的距離；
（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值．

Answer 1

考點：垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）作OH⊥BD于D，根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠BAD=120°，而OB=OD，則∠ODB=30°，在Rt△ODH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OH=

1

2

OD=2，即點O到BD的距離為2；
（2）在Rt△ODH中據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系DH=

3

OH=2

3

，由于OH⊥BD，根據(jù)垂徑定理得BH=DH=2

3

，即BD=4

3

，
而DE=2BE，則DE=

2

3

BD=

8 3

3

，所以HE=DE-DH=

2 3

3

，在Rt△OHE中，根據(jù)勾股定理計算出OE=

4 3

3

，然后利用余弦的定義求解．

解答：解：（1）作OH⊥BD于D，如圖，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=30°，
在Rt△ODH中，OD=2，
∴OH=

1

2

OD=1，
即點O到BD的距離為1；

（2）在Rt△ODH中，∠ODB=30°，OD=2，OH=1，
∴DH=

3

OH=

3

，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH=

3

，即BD=2

3

，
而DE=2BE，
∴DE=

2

3

BD=

4 3

3

，
∴HE=DE-DH=

2 3

3

，
在Rt△OHE中，OE=

OH2-HE2

=

4 3

3

，
cos∠OEH=

HE

OE

=

2 3 3

4 3 3

=

1

2

，
即cos∠OED的值為

1

2

．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．