Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)OE=OF.證明見(jiàn)解析；（2）四邊形AECF是正方形；理由見(jiàn)解析；（3）四邊形BCFE不可能為菱形．理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；

（2）正方形的判定問(wèn)題，AECF若是正方形，則必有對(duì)角線OA=OC，所以O為AC的中點(diǎn)，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，可滿足其為正方形；

（3）菱形的判定問(wèn)題，若使菱形，則必有四條邊相等，對(duì)角線互相垂直．

試題解析：（1）OE=OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分線，

∴∠ACE=∠BCE，

又∵MN∥BC，

∴∠NEC=∠ECB，

∴∠NEC=∠ACE，

∴OE=OC，

∵OF是∠BCA的外角平分線，

∴∠OCF=∠FCD，

又∵MN∥BC，

∴∠OFC=∠ECD，

∴∠OFC=∠COF，

∴OF=OC，

∴OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．理由如下：

∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

又∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形．

已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：如圖，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，

若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在兩個(gè)角為90°，所以不存在其為菱形．

故答案為不可能．